Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

172 5 Formulación k-simpléctica en algebroides de Lie
Demostración:
Es una consecuencia directa de los Lemas 5.7 y 5.21.
Los campos de k-vectores que se obtienen a partir de esta proposición van a jugar
un papel fundamental en la descripción del formalismo lagrangiano k-simpléctico en
algebroides de Lie.
Vamos ahora a calcular la expresión local del campo de k-vectores asociado a
una sección ξ.
Sea ξ = (ξ1, . . . , ξk) una sección de (TE ) 1 k
k ( ⊕ E). El Lema 5.21 nos permite afirmar
que cada ξA: k
⊕ E → TE ( k
⊕ E) es una sección de τ k
⊕E .
Sea ahora {Xα, V A α} una base local de secciones de τ k
ces cada ξA se escribe localmente en esta base como sigue:
⊕E : TE ( k
ξA = ξ α AXα + (ξA) α BV B α ∈ Sec(T E ( k
⊕ E)) ,
para ciertas funciones ξ α A , (ξA) α B ∈ C∞ ( k
⊕ E).
⊕ E) → k
⊕ E. Enton-
De (5.25) obtenemos que el campo de vectores en k
⊕ E asociado a ξA tiene la
siguiente expresión local:
ρ τ (ξA) = ρ i αξ α A
C. sopde’s en k
⊕ E.
∂
∂
∂qi + (ξA) α B
∂yα B
∈ X( k
⊕ E), 1 ≤ A ≤ k . (5.36)
Como hemos comprobado en la observación 5.20, en la descripción del formalismo
lagrangiano en algebroides de Lie, las aplicaciones
τ k k : (T
⊕E
E ) 1 k
k ( ⊕ E) → k
⊕ E
(aq, vbq) ↦→ bq