Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

366 A Simetrías y leyes de conservación
= {− ∂2 L
+
−
+
= {
−
+
=
+
∂vk C∂vl ∂
A
φ (1) (t)
2φk ∂tA∂tC
t
∂ 2 L
∂Φj
∂ 2 L
∂qj ∂vi
A Φ(t) ∂vk
C
φ (1) (t) ∂v j
B∂vi B
Φ(t) ∂v A
k
C
φ (1) (t)
∂ 2 L
∂ql∂v k
A
φ (1) (t)
∂ 2 L
∂qm∂v i
A Φ(t)
∂ 2 L
∂Φ j
∂φk ∂tA
+
t
∂φi
∂tA
∂
t
2L ∂ql∂v i
}
A φ (1) (t)
∂(Φ−1 ) l
∂qm
i ∂Φ
∂qk
∂φ
φ (1) (t)
k
∂tA
−
t
∂H
∂pA
i F L(Φ(φ (1) (t)))
∂Φj
∂2L
∂Φ j
∂qj ∂vi
A Φ(t) ∂vk
C
φ (1) (t) ∂v j
B∂vi B
Φ(t) ∂v A
k
C
φ (1) (t)
∂2L ∂vk C∂vl }
A
φ (1) (t)
∂2φk ∂tA∂tC ∂(Φ
t
−1 ) l
∂qm
Φ(t)
∂ 2 L
∂qm∂v i
A Φ(t)
= −
+
=
=
∂ 2 L
∂qj ∂vi
A Φ(t)
∂ 2 L
∂qm∂v i
A Φ(t)
∂ 2 L
i ∂Φ
∂qk
∂Φj ∂ql
i ∂Φ
∂qk
∂Φj
φ (1) (t)
φ (1) (t)
φ (1) (t)
∂φk ∂tA
t
∂ 2 L
∂v j
B ∂vi A
∂φk ∂tA
t
− ∂H
∂ 2 L
∂p A i
F L(Φ(φ (1) (t)))
∂Φ j
∂2φk ∂tA∂tC ∂Φ
t
i
∂ql
φ (1) (t)
Φ(t)
∂Φ i
∂q l
∂Φi
φ (1) (t)
B
Φ(t) ∂ql
φ (1) (t) ∂vk ∂
C
φ (1) (t)
2φk ∂tA∂tC ∂(Φ
t
−1 ) l
∂qm
Φ(t)
∂pA
i F L(Φ(φ (1) (t)))
− ∂H
∂qj ∂vi
A Φ(t) ∂vl
D
φ (1) (t) ∂v j
B∂vi B
Φ(t) ∂v A
l
D
φ (1) (t)
∂ 2 L
∂qm∂v i
A Φ(t)
∂ 2 L
∂qm∂v i
A Φ(t)
∂ 2 L
∂qm∂v i
A Φ(t)
i ∂Φ
∂vk ∂
C
φ (1) (t)
2φk ∂tA∂tC
t
∂vk ∂
C
φ (1) (t)
2φk ∂tA∂tC
t
i ∂Φ
(1) i
∂(F L ◦ Φ ◦ φ )
∂tA
t
∂Φ j
+ ∂Φi
∂qk
+ ∂Φi
∂qk
− ∂H
∂p A i
φ (1) (t)
φ (1) (t)
∂Φi
∂vk ∂
C
φ (1) (t)
2φk ∂tA∂tC ∂(Φ
t
−1 ) l D
∂qm
Φ(t)
−
t
∂H
∂pA
i F L(Φ(φ (1) (t)))
−
t
∂H
F L(Φ(φ (1) (t)))
∂φk ∂tA
∂φk ∂tA
∂pA
i
= 0
F L(Φ(φ (1) (t)))
donde hemos usado que el primer grupo de las ecuaciones de Hamilton-de Donder-
Weyl se verifica.
De este modo hemos comprobado que la identidad (b) de (A.14) también se
cumple finalizando así esta demostración.