Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

288 7 Formalismo k-cosimpléctico y conexiones no lineales en R k × Q → R k .
Por último, teniendo en cuenta que estamos considerando conexiones llanas (esta
condición era necesaria para garantizar la existencia de una estructura k-cosimpléctica),
la primera de las ecuaciones se verifica trivialmente. Por lo tanto, (X1, . . . , Xk)
es una solución de las ecuaciones geométricas hamiltonianas (7.27) si, y sólo si,
(XA) B = δ A B , (XA) i = ∂H
∂p A i
y
k
(XA) A i = − ∂H
.
∂qi Comparando esta condición con las ecuaciones (6.10) que caracterizan los campos
de k-vectores solución de las ecuaciones geométricas de Hamilton (6.9) asociadas a
la conexión estándar, obtenemos el resultado buscado.
Observación 7.17 A lo largo de esta sección hemos demostrado que toda conexión
llana induce una estructura k-cosimpléctica en la que desarrollamos la formulación
k-cosimpléctica vista en el capítulo anterior. La condición que se está imponiendo
de que la conexión tenga curvatura cero se verifica de modo trivial en la Mecánica
dado que la distribución horizontal es de dimensión uno, y por tanto involutiva.
7.3. Formalismo lagrangiano k-cosimpléctico con
conexiones llanas.
En esta sección, de modo similar a como ocurría en el caso hamiltoniano, demostraremos
como la existencia de una conexión con curvatura cero y de un lagrangiano
L: Rk × T 1 k Q → R permite la construcción de una nueva estructura k-cosimpléctica
en la variedad Rk × (T 1 k )Q.
Esta estructura k-cosimpléctica permite establecer las ecuaciones geométricas similares
a las ecuaciones de Euler-Lagrange que hemos visto en el capítulo precedente
y además se demuestra que las soluciones en este caso son las mismas que en formalismo
lagrangiano k-cosimpléctico estándar, de modo análogo al caso hamiltoniano.
A=1
⋄