Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

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110 3 Teoría de Campos con ligaduras no-holonómicas. Enfoque k-simpléctico. esto es, Ψα(q i , p A i ) = Φα(q i , ∂H ∂p A i ) , 1 ≤ α ≤ m , donde la función hamiltoniana H : (T 1 k )∗ Q → R se define como H = EL ◦ F L −1 . Teniendo en cuenta la expresión local F L−1 (qi , pA i ) = (qi , ∂H ∂pA ) de la inversa de i la transformación de Legendre y la definición del hamiltoniano H = EL ◦ F L−1 tenemos H = v i A ◦ F L −1 p A i − L ◦ F L −1 . Así, de (3.7) y la expresión anterior, se obtiene ∂H ∂p A i donde H ki BC = v i A ◦ F L −1 ∂H ∂L = − ∂qi ∂qi ◦ F L−1 = −λ α ∂Ψα C ∂pB H k ki BC − k A=1 son las componentes de la inversa de la matriz (H BC ik ) = (∂ 2 H/∂p B i ∂p C k ). ∂ ∂tA ∂L ∂vi ◦ F L A −1 , Nótese que para obtener la expresión anterior hacemos uso de la identidad ∂Ψα ∂pB H k ki BC = ∂Φα ∂vi ◦ F L C −1 . Así, las ecuaciones de Hamilton no-holonómicas en (T 1 k )∗ Q pueden ser escrita como sigue ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ ∂H ∂p A i ∂H ∂q i ψ(t) ψ(t) = ∂ψi ∂tA , t = −λ α C ∂Ψα ∂p B k ψ(t) 0 = Ψα(ψ i (t), ψ A i (t)) H ki BC(ψ(t)) − k A=1 ∂ψ A i ∂t A donde ψ : U ⊂ R k → (T 1 k )∗ Q está localmente dado por ψ(t) = (ψ i (t), ψ A i (t)). t
3.5 Teoría hamiltoniana k-simpléctica no-holonómica 111 A continuación daremos una descripción geométrica de estas ecuaciones. Sea M ⊂ (T 1 k )∗ Q la imagen de la subvariedad de ligaduras M bajo la aplicación de Legendre y F el fibrado localmente generado por las 1-formas independientes R k -valuadas ηα = F L ∗ ηα, 1 ≤ α ≤ m . Siguendo un proceso análogo al caso lagrangiano y teniendo en cuenta que estamos en el caso de un lagrangiano hiperregular se tiene que las “ecuaciones de Hamilton-De Donder-Weyl” para el problema no-holonómico pueden ser reescritas en un modo intrínseco como k ıXAωA − dH ∈ 〈η A α 〉 , XA A=1 M ∈ T M , donde ω 1 , . . . , ω k son las 2-formas canónicas en (T 1 k )∗ Q definidas en (1.31). Observación 3.27 En el caso k = 1, los resultados análogas de esta sección pueden encontrase en el trabajo de M. de León [77]. ⋄
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En efecto, consideramos la siguient
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Bibliografía 389 [124] D. J. Saund
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