Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

260 6 Formulación k-cosimpléctica de las Teorías Clásicas de Campos
C. Versión geométrica de las ecuaciones de Euler-Lagrange.
A continuación recordamos la formulación k-cosimpléctica de las ecuaciones de
Euler-Lagrange (6.34) desarrollada por M. de León et al. en [84].
Consideramos las ecuaciones
dtA (XB) = δA B , 1 ≤ A, B ≤ k ,
k
A=1
ıXA ωA L = dEL +
k
A=1
∂L
dtA
∂tA donde EL = ∆(L) − L. Si escribimos la expresión local de XA como sigue
∂
XA = (XA)B
∂t
i ∂
+ (XA) B ∂q i + (XA) i ∂
B
∂v i B
obtenemos que (6.40) es equivalente a las ecuaciones
∂ 2 L
∂q j ∂v i B
(XB) i
(XC) j
(XA)B = δ B A ,
∂ 2 L
∂t A ∂v i B
∂ 2 L
∂v i B ∂vj
C
v j
B − (XB) j + ∂2 L
∂t B ∂v i B
∂ 2 L
= vi B
∂tA∂v i B
= v j
C
∂ 2 L
∂v i B ∂vj
C
∂ 2 L
,
,
, 1 ≤ A ≤ k
∂ 2 L
+ vk B
∂qk∂v i + (XB)
B
k C
∂vk C∂vi B
= ∂L
.
∂qi (6.40)
(6.41)
Cuando L es regular obtenemos que estas ecuaciones son equivalentes a las siguientes
(XA)B = δ B A, (XA) i = v i k
A,
(6.42)
A=1
XA( ∂L
∂vi ) =
B
∂L
∂qi Por lo tanto cuando L es regular XA se expresa localmente como sigue
XA = ∂
y por lo tanto (X1, . . . , Xk) es un sopde.
∂
∂tA + vi A
∂qi + (XA) i B
∂vi B
Además se verifica el siguiente resultado:
∂