Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

5.3.3 Formalismo lagrangiano. 183
Lema 5.33 Sea Φ: R k → k
⊕ E la aplicación asociada a un morfismo de algebroides
de Lie Φ = (Φ, Φ) : T R k → E. Entonces
( Φ(t), Φ (1) (t)) ∈ (T E ) 1 k( k
⊕ E) = T E ( k
⊕ E)⊕ k
. . . ⊕T E ( k
⊕ E) ,
o equivalentemente para cada A = 1, . . . , k
donde τ k,A
k
⊕E
dada por:
Demostración:
τ k,A
k
⊕E
( Φ(t), Φ (1) (t)) ∈ T E ( k
⊕ E) = E ×T Q T ( k
⊕ E) ,
la proyección canónica sobre la A-ésima copia de TE ( k
⊕ E) en (TE ) 1 k
k ( ⊕ E)
τ k,A
k : (T
⊕E
E ) 1 k
( k
⊕ E) = T E ( k
⊕ E)⊕ k
. . . ⊕T E ( k
⊕ E) → T E ( k
⊕ E)
((a1q, v1bq ), . . . , (akq, vkbq )) ↦→ (aAq, vAbq )
Vamos a comprobar que para cada A = 1, . . . , k se tiene
τ k,A
k
⊕E
( Φ(t), Φ (1) (t)) ∈ [T E ( k
⊕ E)] Φ(t) = E τ( Φ(t)) ×T Q T Φ(t) ( k
donde τ: k
⊕ E → Q es la proyección dada por τ(bq) = q.
Podemos escribir
τ k,A
k
⊕E
( Φ(t), Φ (1) (t)) = (prA( Φ(t)), Φ∗(t)( ∂
∂tA
)) ,
t
⊕ E) ,
donde prA: k
⊕ E → E es la proyección canónica sobre la A-ésima copia de E.
Consideremos un sistema local de coordenadas tal que
entonces
Φ(t) = (φ i (t), φ α B(t))
Φ∗(t)( ∂
∂tA
) = (φ
t
i (t), φ α B(t), ∂φi
∂tA
t
, ∂φα B
∂t A
) , 1 ≤ A ≤ k .
t
.