Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

196 5 Formulación k-simpléctica en algebroides de Lie
por lo que el conjunto de estas secciones se identifica con el conjunto de campos de
vectores invariantes a la izquierda ξ L a :
ξ L a (g) = TeLg(ξa)
donde Lg : G −→ G es la translación a la izquierda por g ∈ G.
Teniendo en cuenta la identidad Sec(T ¯ Q/G) = X(Q) ⊕ Sec(g), a partir de los
elementos de X(Q) y de Sec(g), obtenemos una base local de Sec(T ¯ Q/G) dada por:
∂
ei =
∂qi h , ea = ξ L
a
donde ( ∂
∂q i )h es el campo de vectores en U × G que se obtiene mediante el levanta-
miento horizontal de ∂
∈ X(Q). Si
∂qi
∂
A
∂qi
(q,e)
= A a i ξa
entonces el levantamiento horizontal del campo de vectores en ∂
en U es el campo
∂qi de vectores ( ∂
∂qi )h en U × G dado por
Así el conjunto
∂
∂qi h = ∂
∂qi − Aai ξ L a .
ei =
∂
∂qi h , ea = ξ L
a
es por construcción G-invariante y define una base local de secciones {ei, ea} de
Sec(T ¯ Q/G) = X(Q) ⊕ Sec(g).
Teniendo en cuenta esta base de secciones, a cada q = [¯q]G ∈ Q le asociamos un
elemento de T ¯ Q/G de la forma
y i ei(q) + y a ea(q) .
Así obtenemos las coordenadas locales inducidas (q i , y i , y a ) de T ¯ Q/G.