Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

126 4 Relación entre conexiones no lineales en T 1 k Q y sopde’s
Calculemos ahora V( ∂
∂v j
A
V( ∂
∂vi
vq A
vq
) = V(i(vq, 0, . . . ,
).
A
∂
∂q i
De (4.13) y (4.14) se obtiene (4.12).
, . . . , 0)) = (vq, 0, . . . ,
q
A
∂
∂q i
, . . . , 0) (4.14)
q
4.2.3. El proyector horizontal h y el proyector vertical v.
A cualquier aplicación horizontal H : T 1 k Q ×Q T Q → T (T 1 k Q) le asociamos los
siguientes objetos geométricos:
(1) El proyector horizontal, h : = H ◦ j : T (T 1 k Q) → T (T 1 k Q).
De las expresiones en coordenadas locales (4.7) y (4.9) de j y H respectivamente,
deducimos que h tiene la siguiente expresión local
∂ j ∂
h = − N
∂qi Ai ⊗ dq i
(4.15)
∂v j
A
y, además, verifica las siguientes propiedades
h 2 = h, Im h = Im H, Ker h = V (T 1 k Q) ,
entonces, de acuerdo con la siguiente definición, h es un proyector horizontal
para τ k Q .
Definición 4.12 Un tensor h de tipo (1, 1) en T 1 k
horizontal para τ k Q , si es un proyector con núcleo V (T 1 k
h 2 = h y Ker h = V (T 1 k Q)
Q se dice un proyector
Q), es decir,
Lema 4.13 Si h ∈ T 1 1(T 1 k Q) es un proyector horizontal para τ k Q , entonces
existe una única aplicación horizontal H : T 1 k Q ×Q T Q −→ T (T 1 k Q) para τ k Q
tal que H ◦ j = h