Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

8.1.3 Formalismo lagrangiano. 331
La función energía EL : R k × T 1 k Q → R es ahora EL =
∆A ∈ X(R k × T 1 k Q).
Una sección
k
∆A(L) − L, donde
A=1
ξ = (ξ1, . . . , ξk) : R k × k
⊕ E → (T E ) 1 k(R k × k
⊕ E)
se corresponde con un campo de k-vectores en R k × T 1 k Q
ξ = (ξ1, . . . , ξk): R k × T 1 k Q → T 1 k (R k × T 1 k Q) .
Sea f una función en Rk × T 1 k Q entonces
d TE (R k × k
⊕E) f(Y ) = df(Y )
donde df denota la diferencial usual e Y es un campo de vectores en R k ×T 1 k Q.
Se verifica que
Ω A L(X, Y ) = ω A L (X, Y ) , (A = 1, . . . , k) ,
donde ωA L son las 2-formas lagrangianas del formalismo lagrangiano k-cosimpléctico
estándar definidas en la sección 6.2.1.D.
Así, en el formalismo k-cosimpléctico estándar la ecuación (8.28) se escribe
como sigue:
dt A (ξB) = δ A B
,
k
A=1
ıξA ωA L = dEL +
k
A=1
∂L
∂t A dtA .
En el caso estándar una aplicación φ : R k → Q induce un morfismo de algebroides
de Lie (T φ, φ) entre T R k y T Q. En este caso, la aplicación Φ, asociada
a este morfismo, coincide con la primera prolongación φ [1] de φ dada por
Φ(t) = (t, T φ( ∂
∂t1
), . . . , T φ(
t
∂
∂tk
)) = φ
t
[1] (t) .
Así, del Teorema 8.20 y los comentarios anteriores, deducimos el siguiente corolario,
el cual es un resumen del formalismo lagrangiano k-cosimpléctico estándar.