Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

1.1.1 Fundamentos geométricos. 9
Definición 1.11 (Günther,[56]). Una forma polisimpléctica ¯ω sobre una variedad
M se llama estándar si, y sólo si, en cada punto de M existe un sistema local de
coordenadas tal que ω A se escribe localmente como en (1.3).
Así, la forma polisimpléctica canónica ¯ω en (T 1 k )∗ Q es estándar.
Observación 1.12 Una estructura polisimpléctica estándar es equivalente a una
estructura k-simpléctica.
Por tanto tenemos una equivalencia entre las estructuras k-simplécticas, las estructuras
k-cotangentes y las estructuras polisimplécticas estándar.
D. Levantamiento natural de difeomorfismos y campos de vectores de Q a (T 1 k )∗ Q.
Sea f: M → N un difeomorfismo, entonces la aplicación cotangente
está definida por
T ∗ f: T ∗ N → T ∗ M
T ∗ f(αf(m)) = αf(m) ◦ f∗(m) .
A partir de la aplicación cotangente introducimos la siguiente definición.
Definición 1.13 Sea f: M → N un difeomorfismo. Llamamos levantamiento natural
o canónico de f a los correspondientes fibrados de k 1 -covelocidades a la
aplicación
(T 1 k ) ∗ f : (T 1 k ) ∗ N → (T 1 k ) ∗ M
definida como sigue:
(T 1 k ) ∗ f(α1f(m), . . . , αkf(m)) = (T ∗ f(α1f(m)), . . . , T ∗ f(αkf(m)))
donde (α1f(m), . . . , αkf(m)) ∈ (T 1 k )∗ N, m ∈ M .
El levantamiento canónico de difeomorfismos nos permite introducir el levantamiento
canónico o completo de campos de vectores de Q a (T 1 k )∗ Q.
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