Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

66 2 Simetrías y Leyes de conservación
sea también invariante. De este modo, ω A L , EL y en consecuencia las ecuaciones de
Euler-Lagrange son invariantes por Φ o Y .
Pedir la invarianza de L es una condición fuerte, puesto que existen funciones
lagrangianas que, siendo diferentes, dan lugar a la misma estructura k-simpléctica
ωA L , A = 1, . . . , k, y a las mismas ecuaciones de Euler-Lagrange.
Con la finalidad de no exigir que la función L sea invariante vamos a introducir
el concepto de lagrangianos equivalentes.Así, siguiendo la misma terminología de la
mecánica (véase [1]), podemos definir:
Definición 2.33 Dos funciones lagrangianas L1, L2 ∈ C∞ (T 1 k Q) son gauge equivalentes
si
(1) ωA L1 = ωA , para A = 1, . . . , k.
L2
(2) X k L1 (T 1 k Q) = Xk L2 (T 1 k Q),
en donde recordemos que Xk L (T 1 k Q) denota el conjunto de campos de k-vectores solución
de la ecuación geométrica de Euler-Lagrange (1.45).
Los lagrangianos gauge equivalentes se pueden caracterizar como sigue:
Proposición 2.34 Dos lagrangianos L1, L2 ∈ C∞ (T 1 k Q) son gauge equivalentes si,
y sólo si,
(1) ωA L1 = ωA , para A = 1, . . . , k.
L2
(2) EL1 = EL2, (salvo constantes).
Demostración:
Demostraremos que bajo la hipótesis ω A L1 = ωA L2
se verifica que:
X k L2 (T 1 k Q) = Xk L1 (T 1 k Q) es equivalente a EL1 = EL2 (salvo constantes).
Si X = (X1, . . . , Xk) ∈ Xk L2 (T 1 k Q) = XkL1 (T 1 k Q), entonces
0 =
k
A=1
ıXA ωA L1 − dEL1 =
k
A=1
ıXA ωA L2
− dEL2