Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

114 4 Relación entre conexiones no lineales en T 1 k Q y sopde’s
4.1.1. El fibrado vectorial (T 1 k Q ×Q T 1 k Q, (τ k Q )∗ τ k Q , T 1 k Q).
Consideremos el fibrado τ k Q : T 1 k Q → Q, entonces el pull-back de τ k Q por τ k Q es el
fibrado
donde el espacio total es
(T 1 k Q ×Q T 1 k Q, (τ k Q) ∗ τ k Q, T 1 k Q) ,
T 1 k Q ×Q T 1 k Q = {(vq, w¯q) ∈ T 1 k Q × T 1 k Q | τ k Q(vq) = τ k Q(w¯q)} .
El siguiente diagrama es conmutativo:
(τ k Q )∗ (T 1 k Q) ≡ T 1 k Q ×Q T 1 k Q
(τ k Q )∗ τ k Q
T 1 k Q
τ k Q
T 1 k Q
siendo (τ k Q )∗τ k Q : T 1 k Q ×Q T 1 k Q → T 1 k Q es la proyección canónica definida por
(τ k Q) ∗ τ k Q(vq, wq) = vq ,
donde (vq, wq) es un elemento arbitrario de T 1 k Q×QT 1 k Q, esto es, vq = (v1q, . . . , vkq)
y wq = (w1q, . . . , wkq) son dos k-tuplas de vectores tangentes a Q.
La fibra de (τ k Q )∗ (T 1 k Q) en un punto vq ∈ T 1 k Q es el espacio vectorial real
y de dimensión nk.
Q
{vq} × TqQ ⊕ . . . ⊕ TqQ ∼ = TqQ ⊕ . . . ⊕ TqQ
A lo largo de este capítulo denotaremos por
Sec((τ k Q) ∗ τ k Q)
el C∞ (T 1 k Q)-módulo de secciones de la proyección (τ k Q )∗τ k Q . Veamos algunos elementos
de este conjunto que serán importantes a lo largo del capítulo.
(1) Llamamos sección canónica a la sección δ := (idT 1
k Q, idT 1
k Q) ∈ Sec((τ k Q )∗τ k Q ),
esto es
δ := (idT 1
k Q, idT 1
k Q) : T 1 k Q → T 1 k Q ×Q T 1 k Q
(4.1)
vq ↦→ (vq, vq)
Esta sección nos permitirá introducir el campo de Liouville generalizado ∆ en
T 1 k Q, como veremos en la sección 4.2.2
τ k Q