Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

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320 8 Formalismo k-cosimpléctico en algebroides de Lie. es una sección integral de un sopde ξ = (ξ1, . . . , ξk) si η es una sección integral del campo de k-vectores en Rk × k ⊕ E (ρ p (ξ1), . . . , ρ p (ξk)) asociado a ξ (véase el lema anterior). Es decir, η es una sección integral de ξ si y sólo si, ρ p ∂ (ξA)(η(t)) = η∗(t) ∂tA t , 1 ≤ A ≤ k . (8.19) Si η : U ⊂ R k → R k × k ⊕ E se expresa localmente como sigue η(t) = (ηA(t), η i (t), η α A(t)), entonces, de la expresión local (8.18), deducimos que (8.19) es equivalente a la familia de identidades ∂ηB ∂t A = δ t A B , ∂ηi ∂tA t = η α A(t)ρ i α , 8.1.3. Formalismo lagrangiano. ∂η β B ∂tA t = (ξA) β B (η(t)) . (8.20) En esta subsección vamos a describir la formulación lagrangiana k-cosimpléctica en algebroides de Lie. Con la finalidad de simplificar la notación, a lo largo de esta sección denotaremos por d la diferencial exterior en el algebroide de Lie TE (Rk × k ⊕ E), esto es, d: = d TE (R k × k ⊕E) . Una función L : R k × k ⊕ E → R se llamará función lagrangiana. En primer lugar vamos a introducir algunos objetos geométricos asociados a un lagrangiano L. A. Secciones de Poincaré-Cartan o secciones lagrangianas. De modo análogo a lo que ocurre en el formalismo k-cosimpléctico estándar, a partir de los endormofismos verticales S1 , . . . , S k y dada L una función lagrangiana se definen las siguientes 1-secciones de (TE (Rk × k ⊕ E)) ∗
8.1.3 Formalismo lagrangiano. 321 Θ A L : Rk × k ⊕ E −→ (T E (R k × k ⊕ E)) ∗ en donde Θ A L (t, bq) es la aplicación (t, bq) ↦−→ ΘA L (t, bq) 1 ≤ A ≤ k Θ A L(t, bq): (T E (R k × k ⊕ E))(t,bq) ≡ Eq ×T Q T(t,bq)(R k × k ⊕ E) −→ R definida por la composición esto es, [T E (R k × k ⊕ E)](t,bq) S A (t,bq) Θ A L (t,bq) [T E (R k × k ⊕ E)](t,bq) (dL) (t,bq) (Θ A L)(t, bq)(aq, v(t,bq)) = (dL)(t,bq)(( S A )(t,bq)(aq, v(t,bq))) , (8.21) siendo d = d TE (R k × k ⊕E) la diferencial exterior de T E (R k × k ⊕ E), véase (8.39). Estas secciones Θ 1 L , . . . , Θ k L de Poincaré-Cartan. R se denominan secciones lagrangianas o secciones Utilizando la expresión (8.39) de df = d TE (R k × k ⊕E) f con f = L se obtiene: (Θ A L )(t, bq)(aq, v(t,bq)) = (dL)(t,bq)(( S A )(t,bq)(aq, v(t,bq))) = [ρ p (( S A )(t,bq)(aq, v(t,bq)))]L , donde (t, bq) ∈ R k × k ⊕ E, (aq, v(t,bq)) ∈ [T E (R k × k ⊕ E)](t,bq) y por ρ p (( S A )(t,bq)(aq, v(t,bq))) ∈ T(t,bq)(R k × k ⊕ E). A partir de las 1-secciones Θ 1 L , . . . , Θ k L definimos las 2-secciones Ω A L : R k × k ⊕ E → (T E (R k × k ⊕ E)) ∗ ∧ (T E (R k × k ⊕ E)) ∗ , 1 ≤ A ≤ k Ω A L: = −dΘ A L , 1 ≤ A ≤ k . (8.22)
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Conclusiones. El punto de partida d
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Bibliografía [1] R. Abraham-J. E.
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Bibliografía 383 [50] M.J. Gotay,
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Bibliografía 385 [75] M. de León,
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Bibliografía 387 [100] E. Martíne
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Bibliografía 389 [124] D. J. Saund
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