Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

3.1.4 Las ecuaciones de campo no-holonómicas 85
Supongamos que cada XA se expresa localmente como sigue
donde (XA) i , (XA) i B
i ∂
XA = (XA)
∂
∂qi + (XA) i B
∂vi B
con 1 ≤ A, B ≤ k y 1 ≤ i ≤ n son funciones definidas en M.
Entonces (X1, . . . , Xk) es una solución de (3.9) si, y sólo si, las funciones (XA) i
satisfacen el sistema de ecuaciones
2 ∂ L
− ∂2
L
((XA) j − v j
A )
y (XA) i B
∂qi∂v j
A
∂q j ∂v i A
2 ∂ L
−
∂qj ∂vi (XA)
A
j + ∂2L ∂v j
B∂vi (XA)
A
j ∂L
B −
∂qi
∂2L ∂v j
B∂vi ((XA)
A
i − v i A) = 0 .
,
= λ α B ηB α i ,
Puesto que el lagrangiano es regular, de la última ecuación se obtiene
(XA) j = v j
A ,
esto es (X1, . . . , Xk) es un sopde, y las ecuaciones anteriores son equivalentes a las
siguientes
∂ 2 L
∂q j ∂v i A
Ahora probaremos (ii).
v j
A + ∂2L ∂vi A∂vj (XA)
B
j ∂L
B −
∂qi = −λαB η B α i (i = 1, . . . , n)
(XA) i = v i A (A = 1, . . . , k) .
(3.10)
Sea φ (1) (t) = (φ i (t), ∂φ i /∂t A (t)) una sección integral de (X1, . . . , Xk) pasando
por un punto wq ∈ M, esto es,
φ (1) (0) = wq ∈ M , (v j
A ◦ φ(1) )(t) = ∂φj
∂tA
t
, ((XA) j
B ◦ φ(1) )(t) = ∂2 φ j
∂tA∂tB
t
. (3.11)
Sustituyendo (3.11) en el primer grupo de ecuaciones de (3.10) obtenemos las
ecuaciones
k ∂
∂tA
∂L
−
t φ (1) (t)
∂L
∂q i
= − λ
φ (1) (t)
α B η B α i (φ(1) (t)) (i = 1, . . . , n) ,
A=1
∂v i A