Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

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348 8 Formalismo k-cosimpléctico en algebroides de Lie. • Estándard: A=1 ∂ψ i ∂t A t = ∂H ∂p A i ψ(t) k ∂ψ A i = −∂H ∂tA ∂qi ψ(t) Las soluciones de estas ecuaciones son aplicaciones ψ: R k → R k × (T 1 k )∗ Q t ↦→ ψ(t) = (t, ψ i (t), ψ A i (t)) 8.3. Equivalencia entre el formalismo lagrangiano y el hamiltoniano. En la sección 6.3 del Capítulo 6 de esta memoria recordamos que las formulaciones lagrangiana y hamiltoniana k-cosimplécticas son equivalentes cuando el lagrangiano L : Rk × T 1 k Q → R es hiperregular. De modo análogo, en la sección 5.5 demostramos que se tiene un resultado similar entre las formulaciones lagrangiana y hamiltoniana k-simplécticas en algebroides de Lie. En esta sección se recoge el resultado análogo en el contexto k-cosimpléctico en algebroides de Lie. Sea L : R k × k ⊕ E → R un lagrangiano. Definición 8.28 La transformación de Legendre asociada a L es la aplicación definida por Leg(t, a1q, . . . , akq) = Leg : R k × k ⊕ E → R k × k ⊕ E ∗ t, [Leg(a1q, . . . , akq)] 1 , . . . , [Leg(a1q, . . . , akq)] k donde [Leg(a1q, . . . , akq)] A (uq) = d ds L(t, a1q, . . . , aAq + suq, . . . , akq) siendo uq ∈ Eq. . s=0 ,
8.3 Equivalencia entre el formalismo lagrangiano y el hamiltoniano. 349 La expresión local de la aplicación Leg es Leg(t A , q i , y α A) = (t A , q i , ∂L ∂yα ) . A A partir de esta expresión local es sencillo probar que el lagrangiano L es regular si, y sólo si, Leg es un difeomorfismo local. Observación 8.29 Cuando se considera el algebroide de Lie E = T Q la transformación de Legendre definida arriba coincide con la transformación de Legendre del formalismo k-cosimpléctico, véase la definición 6.18. La transformación de Legendre induce una aplicación definida por T E Leg : T E (R k × k ⊕ E) → T E (R k × k ⊕ E ∗ ) ≡ E ×T Q T (R k × k ⊕ E ∗ ) T E Leg(aq, v(t,bq)) = donde aq ∈ Eq, (t, bq) ∈ R k × k ⊕ E y aq, (Leg)∗(t, bq)(v(t,bq)) , (aq, v(t,bq)) ∈ T E (R k × k ⊕ E) ≡ E ×T Q T (R k × k ⊕ E). Teorema 8.30 El par (T E Leg, Leg) es un morfismo de algebroides de Lie, T E (R k × k ⊕ E) τ R k × k ⊕E T E Leg R k × k ⊕ E Leg T E (R k × k ⊕ E ∗ ) τ R k × k ⊕E ∗ k k R × ⊕ E ∗ entre (T E (R k × k ⊕ E), ρ pQ , [·, ·] pQ ) y (T E (R k × k ⊕ E ∗ ), ρ p ∗ Q, [·, ·] p ∗ Q). Además si ΘA L y Ω<strong>AL</strong> (respectivamente, ΘA y ΩA ) son las secciones lagrangianas asociadas a una función lagrangiana L: Rk × k ⊕ E → R (respectivamente, las secciones de Liouville en TE ( k ⊕ E∗ )), entonces (T E Leg, Leg) ∗ Θ A = Θ A L, (T E Leg, Leg) ∗ Ω A = Ω A L , 1 ≤ A ≤ k . (8.53)
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