Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

5.4.1 Elementos geométricos. 201
Denotaremos por Sec(TE ( k
⊕ E ∗ )) el conjunto de secciones de la proyección
τ k
⊕E ∗: TE ( k
⊕ E ∗ ) → k
⊕ E ∗ .
(4) A cada sección ξ: k
⊕ E ∗ → T E ( k
⊕ E ∗ ) ≡ E ×T Q T ( k
⊕ E ∗ ) de τ k
un campo de vectores por medio del ancla del algebroide
Si ξ se escribe localmente como sigue:
τ ∗
ρ : T E ( k
⊕ E ∗ ) → T ( k
⊕ E ∗ ).
ξ = ξ α Xα + ξ A α V α A ∈ Sec(T E ( k
⊕ E ∗ ))
⊕E
∗ le asociamos
entonces, reescribiendo la expresión (5.17) para este caso particular obtenemos,
τ ∗
ρ (ξ) = ρ i α ∂
αξ
∂qi + ξA α
∂
∂y A α
∈ X( k
⊕ E ∗ ) . (5.61)
(5) El corchete de Lie de secciones de τ k queda determinado a partir del corchete
⊕E ∗
de los elementos de una base de secciones,
τ ∗
[Xα, Xβ ] = C γ
αβXγ [Xα, V β ∗
B
]τ = 0 [Vα ∗
A , Vβ
B
]τ = 0 , (5.62)
(6) Si {Xα , VA α} es la base dual de {Xα, Vα A }, de las expresiones (5.20) que caracterizan
la diferencial exterior en el algebroide prolongación obtenemos que
dTE ( k
⊕E ∗ ) i ∂f
f = ρα ∂qi Xα + ∂f
∂y A α
V A α , para f ∈ C ∞ ( k
⊕ E ∗ )
dTE ( k
⊕E ∗ ) γ 1
X = −
2 Cγ
αβXα ∧ X β , d TE ( k
⊕E ∗ ) A
Vγ = 0 .
(5.63)
A lo largo de esta sección denotaremos por d la diferencial exterior en el fibrado
prolongación TE ( k
⊕ E ∗ ), esto es,
d ≡ d TE ( k
⊕E ∗ ) .
Observación 5.41 En el caso particular E = T Q la variedad T E ( k
⊕ E ∗ ) se identifica
con T ((T 1 k )∗ Q).