Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

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378 Bibliografía Además en este capítulo se analiza el caso particular de una subvaridad de ligaduras M que se obtiene como la suma de k copias de una distribución sobre el espacio de configuración. En este caso particular se ha construido una distribución D en T 1 k Q a lo largo de M que, en cada punto, es un subespa- cio k-simpléctico del espacio vectorial k-simpléctico (T (T 1 k Q), ω1 L , . . . , ωk L asociado a un lagrangiano regular L. Este hecho permite extender al contexto k-simpléctico el procedimiento de Bates y Sniatycki [8] para el caso lineal. Se ha asociado a cada conexión no lineal en el fibrado T 1 k Q un sopde y recíprocamente a cada sopde se le asocia una conexión no lineal en el fibrado antes mencionado. En el contexto k-cosimpléctico también se han estudiado conexiones no lineales, en este caso en el fibrado trivial Rk × Q → Rk y se ha demostrado que asociada a cada conexión ∇ en dicho fibrado y a cada función lagrangiana L se define una función E ∇ L , V ) , llamada función energía que permite demostrar que existe una correspondencia biyectiva entre las soluciones de las ecuaciones de campo de Euler-Lagrange y las ecuaciones de campo de Hamilton-De Donder- Weyl. Se ha desarrollado una formulación k-simpléctica y k-cosimpléctica en algebroides de Lie. La idea de esta formulación ha sido sustituir el fibrado tangente de la variedad de configuración por un algebroide de Lie arbitrario. De este modo obtenemos una nueva teoría que generaliza por una parte la formulación k-simpléctica y k-cosimpléctica estándar y por otra la Mecánica en algebroides de Lie. En relación con el último punto comentado pretendo desenvolver la formulación k-simpléctica y k-cosimpléctica de la teoría de campos discretos sobre grupoides de Lie. Para eso, los pasos a seguir serían los siguientes. En primer lugar desarrollar la formulación k-simpléctica y k-cosimpléctica discretas, estudiando sus propiedades y elementos geométricos. En segundo lugar extender estes resultados al estudio de campos discretos sobre grupoides de Lie.
Bibliografía [1] R. Abraham-J. E. Marsden: Foundations of Mechanics, Benjamin, Nueva York, 1978. [2] S. S. Antman, Nonlinear Problems of Elasticity, Applied Mathematical Sciences, vol. 107, Springer-Verlag, 2005. [3] V.I. Arnold, Mathematical methods of classical mechanics. Graduate Texts in Mathematics 60. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, (1978). [4] V.I. Arnold, Dynamical Systems, Vol. III, Springer-Verlag, New York, Heidelberg, Berlin, (1998). [5] A. Awane, k-symplectic structures, J. Math. Phys. 33 (1992) 4046-4052. [6] A. Awane, G-spaces k-symplectic homogènes, J. Geom. Phys. 13 (1994) 139- 157. [7] A. Awane, M. Goze, Pfaffian systems, k-symplectic systems, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht (2000). [8] L. Bates and J. Sniatycki, Nonholonomic reduction, Rep. Math. Phys. 32 (1993), no. 1, 99-115. [9] E. Binz, M. de León, D. Martín de Diego, and D. Socolescu, Nonholonomic Constraints in Classical Field Theories, Rep. Math. Phys. 49 (2002), 151-166. [10] A.M. Bloch, Nonholonomic Mechanics and Control, Interdisciplinary Applied Mathematics Series 24, Springer-Verlag New-York, 2003. [11] A. M. Bloch, P. S. Krishnaprasad, J. E. Marsden, R. M. Murray, Nonholonomic Mechanical Systems with Symmetry, Arch. Rat. Mech. Phys. 136 (1) (1996), 21–99. 379
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