Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

6.1.2 Formalismo hamiltoniano. Ecuaciones de Hamilton-De Donder-Weyl. 239
que coinciden con las ecuaciones de campo de Hamilton-De Donder-Weyl (6.6.)
Así, las ecuaciones (6.9) pueden considerarse como una versión geométrica de las
ecuaciones de campo hamiltonianas. A partir de ahora a las ecuaciones (6.9) las denominaremos
ecuaciones geométricas de Hamilton en el contexto k-cosimpléctico.
Teniendo en cuenta los resultados anteriores podemos afirmar que las ecuaciones
de la electrostática, consideradas al inicio de esta subsección, se pueden escribir
geométricamente como sigue
dtA (XB) = δAB, 1 ≤ A, B ≤ 3
3
ıXAωA 3
= dH − RA(H)dt A .
A=1
Observación 6.14 Nótese, que en general, las ecuaciones (6.9) no tienen una única
solución. De hecho, si (M, η A , ω A , V ) es una variedad k-cosimpléctica podemos
definir el morfismo de fibrados sobre M
Ω ♯ : T 1 k M −→ T ∗ M
A=1
(X1, . . . , Xk) ↦→ Ω ♯ (X1, . . . , Xk) =
k
A=1
ıXA ωA + η A (XA)η A ,
(6.12)
y, denotando por Mk(C ∞ (M)) el espacio de matrices de orden k cuyas componentes
son funciones en M, se puede considerar la aplicación
η ♯ : T 1 k M −→ Mk(C ∞ (M))
(X1, . . . , Xk) ↦→ η ♯ (X1, . . . , Xk) = (η A (XB)) ,
entonces las soluciones de (6.9) son de la forma
(X1, . . . , Xk) + (ker Ω ♯ ∩ ker η ♯ ),
donde (X1, . . . , Xk) es una solución particular de dichas ecuaciones.
(6.13)
A partir de las condiciones locales (6.10) podemos definir, en un entorno de cada
punto x ∈ M, un campo de k-vectores que verifica (6.9). Por ejemplo, pongamos
(XA) B = δ B A , (X1) 1 i = ∂H
∂q i , (XA) B i = 0 for A = 1 = B , (XA) i = ∂H
∂p A i
.