Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

312 8 Formalismo k-cosimpléctico en algebroides de Lie.
En efecto, consideramos la prolongación de T Q mediante pQ : Rk × T 1 k Q → Q.
Así de (8.2) se tiene
T T Q (R k × k
⊕ T Q) = T T Q (R k × T 1 k Q)
= {(uq, v(t,wq)) ∈ T Q × T (R k × T 1 k Q)/uq = T pQ(vwq)}
= {(T pQ(v(t,wq)), v(t,wq)) ∈ T Q × T (R k × T 1 k Q)/ (t, wq) ∈ R k × T 1 k Q}
≡ {v(t,wq) ∈ T (Rk × T 1 k Q)/ (t, wq) ∈ Rk × T 1 k Q} ≡ T (Rk × T 1 k Q) .
C. Levantamiento vertical A-ésimo.
(8.9)
Definición 8.2 [24] Un elemento (aq, v(t,bq)) de la prolongación TE (Rk × k
⊕ E) ≡
E ×T Q T (Rk × k
⊕ E) se dice vertical si verifica
donde
τ1(aq, v(t,bq)) = 0q ∈ E ,
τ1 : T E (R k × k
⊕ E) ≡ E ×T Q T (R k × k
⊕ E) → E,
(aq, v(t,bq)) ↦→ aq
es la proyección sobre el primer factor E de T E (R k × k
⊕ E).
La definición anterior implica que los elementos verticales de TE (Rk × k
⊕ E) son
de la forma
(0q, v(t,bq)) ∈ T E (R k × k
⊕ E)
donde v(t,bq) ∈ T (R k × k
⊕ E) y (t, bq) ∈ R k × k
⊕ E.
Ahora bien, teniendo en cuenta la definición (8.2), que determina los elementos
de TE (Rk × k
⊕ E), la condición que de un elemento sea vertical significa que
0 = T(t,bq)p(v(t, bq)) ,
es decir el vector v(t,bq) es vertical respecto a la proyección p: R k × k
⊕ E → Q.
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