Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

2.1.1 Simetrías y leyes de conservación. 45
(1) Por la definición 1.17, de sección integral de un campo de k-vectores, para
cada t ∈ U0 ⊆ Rk y A con A = 1, . . . , k, se verifica
∂
XA(ψ(t)) = ψ∗(t)
∂tA
.
t
(2) X ∈ X k H ((T 1 k )∗ Q), esto es, X = (X1, . . . , Xk) es solución de las ecuaciones geométricas
de Hamilton (1.15). Por lo tanto, aplicando el Teorema 1.23, se tiene
que cada sección integral ψ de X es solución de las ecuaciones de Hamilton-De
Donder-Weyl (1.13).
De (1) y (2) se sigue la siguiente cadena de igualdades:
k
A=1
LXA FA =
k
∂
ψ∗(t)
∂tA
A=1
t
(F A ) =
k
A=1
∂(F A ◦ ψ)
∂t A
donde la última igualdad es consecuencia de (2.1), lo que se satisface puesto que
F = (F 1 , . . . , F k ) es una ley de conservación y ψ es una solución de las ecuaciones
de Hamilton-de Donder-Weyl (1.13).
Observación 2.3 El caso k = 1 se corresponde con la Mecánica hamiltoniana
Autónoma.
En este caso sabemos que F es una constante del movimiento o integral primera
si se mantiene constante a lo largo de las soluciones de las ecuaciones de Hamilton
y, esto es equivalente a LXHF = 0, donde XH es el campo de vectores Hamitoniano
definido por ıXHω = dH.
En nuestro caso las ecuaciones (2.1) y (2.2) no son equivalentes puesto que no toda
solución de las ecuaciones de Hamilton-De Donder-Weyl es un sección integrable
de algún campo de k-vectores perteneciente al conjunto X k H ((T 1 k )∗ Q).
A continuación introduciremos el concepto de simetría de un sistema Hamiltoniano
k-simpléctico como una simetría de las ecuaciones de Hamilton-De Donder-Weyl.
t
= 0
⋄