Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

8.1.3 Formalismo lagrangiano. 329
De donde se sigue que ξ : Rk × k
⊕ E → (TE ) 1 k (Rk × k
⊕ E) es solución del sistema
de ecuaciones (8.28) si, y sólo si,
= ρ i α
∂ 2 L
∂t A ∂y α A
+ ξ β
A
(ξA)B = δ A B ,
∂ 2 L
ξα A
∂tB∂y α A
ξ α A
∂ 2 L
∂y β
B ∂yα A
∂ 2 L
ρ i β
∂qi∂y α A
∂L ∂
− yβ
∂qi A
2L ∂qi∂y β
A
− ρ i α
∂ 2 L
= yα A
∂tB∂y α A
= y α A
∂ 2 L
∂q i ∂y β
A
∂ 2 L
∂y α A ∂yβ
B
+ C γ
Cuando L es regular, esto es, cuando la matriz
tercera identidad de (8.30) obtenemos
.
αβ
,
,
∂L
+ (ξA) β
∂y γ
A
ξ α A = y α A , 1 ≤ A ≤ k, 1 ≤ α ≤ m ,
∂ 2 L
∂y α A ∂yβ
B
y por tanto, cuando el lagrangiano es regular, se verifica que si
es solución de (8.28) entonces:
ξ = (ξ1, . . . , ξk) : R k × k
⊕ E → (T E ) 1 k(R k × k
⊕ E)
B
∂ 2 L
∂y β
B ∂yα A
(1) ξ es un sopde en T E (R k × k
⊕ E) y se escribe localmente como sigue:
ξA = YA + y α AXα + (ξA) α BV B α
para ciertas funciones (ξA) α B ∈ C∞ (R k × k
⊕ E) y
(8.30)
es regular, de la
(2) las funciones (ξA) α B ∈ C∞ (R k × k
⊕ E) satisfacen las ecuaciones siguientes:
∂ 2 L
∂t A ∂y α A
+ y β
∂ 2 L
Aρiβ ∂qi∂y α A
+ (ξA) β
B
∂ 2 L
∂y β
B ∂yα A
= ρ i α
∂L
− yβ
∂qi ACγ αβ
∂L
. (8.31)
∂y γ
A