Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

234 6 Formulación k-cosimpléctica de las Teorías Clásicas de Campos
El problema variacional, asociado a un hamiltoniano H, consiste en obtener los
extremales de la acción integral H.
Teorema 6.11 Sean ψ ∈ Secc(Rk , Rk × (T 1 k )∗Q) y H: Rk × T 1 k Q → R una función
hamiltoniana. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
(1) ψ es un extremal del problema variacional asociado a H
(2) ψ ∗ L 1 ∗
Z
Θ = 0, para cada Z ˆπ Rk-vertical y ˆπQ-proyectable.
R k
(3) ψ ∗ ı Z 1 ∗ dΘ = 0, para cada Z ˆπ R k-vertical y ˆπQ-proyectable.
(4) Si (U; t A , q i , p A i ) es un sistema natural de coordenadas en R k ×(T 1 k )∗ Q, entonces
ψ verifica las ecuaciones de Hamilton-De Donder-Weyl, esto es,
Demostración:
∂ψ i
∂t A
t
= ∂H
∂p A i
,
ψ(t)
k
A=1
∂ψ A i
∂t A
t
= − ∂H
∂q i
ψ(t)
. (6.6)
(1 ⇔ 2) Sea Z ∈ X(R k × Q) un campo de vectores ˆπ R k-vertical y ˆπQ-proyectable.
Denotemos por σs el grupo uniparamétrico de difeomorfismos asociado a Z.
En estas condiciones se verifica:
d
ds
s=0
H(j 1∗ σs ◦ ψ) = d
ds
s=0
1
= lím
s→0 s
1
= lím
s→0 s
R k
1
= lím
s→0 s Rk
= ψ ∗ LZ1 ∗Θ ,
(j 1∗ σs ◦ ψ) ∗ Θ
Rk (j 1∗ σs ◦ ψ) ∗
Θ −
Rk ψ ∗ (j 1∗ σs) ∗ Θ −
ψ ∗ [(j 1∗ σs) ∗ Θ − Θ]
con lo que el resultado buscado se sigue inmediatamente.
R k
R k
R k
ψ ∗
Θ
ψ ∗
Θ