Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

3.3 La ecuación momento no-holonómica 95
que demostraremos a continuación.
Sea (yl ) un sistema local de coordenadas en el grupo de Lie G, entonces { ∂
∂yl
}
e
es una base de g.
Para cada t ∈ U0, se verifica ξ(φ(t)) ∈ gF ⊂ g por lo que se escribe localmente
como sigue
ξ(φ(t)) = ξ l (φ(t)) ∂
∂yl
e
y así
[ i ξ(φ(t))]Q (φ(t)) = (Φφ(t))∗(e)( ξ(φ(t)))(q i ) = ξ l (φ(t)) ∂(qi ◦ Φφ(t))
∂y l
. (3.18)
e
Entonces
=
=
=
=
=
=
=
∂
∂t A
∂
[
i
ξ(φ(t))]Q (φ(t)) = ∂
∂tA ( ξ(φ(t))) ∂(qi ◦ Φφ(t))
∂y l
e
∂ ξ l
∂q j
∂ ξ l
∂q j
∂ ξ l
∂q j
∂ ξ l
∂q j
∂ ξ l
∂q j
φ(t)
φ(t)
φ(t)
φ(t)
φ(t)
∂φj ∂tA
t
∂φj ∂tA
t
∂φj ∂tA
t
∂φj ∂tA
t
∂φj ∂tA
t
∂(q i ◦ Φφ(t))
∂y l
∂(q i ◦ Φφ(t))
∂y l
∂(q i ◦ Φφ(t))
∂y l
∂(q i ◦ Φφ(t))
∂y l
∂(q i ◦ Φφ(t))
∂y l
[( ξ ◦ φ)∗(t)( ∂
∂tA
)]Q
t
donde en la última igualdad hemos utilizado que
i
[ i ξ(φ(t))]Q (φ(t)) = ∂ ξ l
∂qj
∂tA
ξ l (φ(t)) ∂(qi ◦ Φφ(t))
∂y l
e
+ ξ(φ(t)) ∂
∂tA i ∂(q ◦ Φφ(t))
∂y l
e
+
e
ξ(φ(t)) ∂
∂y l
∂
e ∂tA (qi
◦ Φφ(t))
+
e
ξ(φ(t)) ∂
∂y l
i
∂(q ◦ Φφ(t))
e ∂qj ∂φj ∂tA
t
+
e
ξ(φ(t)) ∂
∂y l
i
∂(q ◦ Φφ(t))
e ∂qj j ∂φ
∂tA
t
+
e
ξ(φ(t)) ∂
∂qj i ∂(q ◦ Φφ(t))
∂y l
j
∂φ
e ∂tA
t
+
e
∂
∂qj
ξ(φ(t)) ∂(qi ◦ Φφ(t))
∂y l
j
∂φ
e ∂tA
t
(φ(t)) + ∂φj
∂tA
∂ [
t
i ξ(φ(t))]Q
∂qj
.
φ(t)
φ(t)
∂φj ∂tA
t
∂(qi ◦ Φφ(t))
∂y l
e