Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

7.4.2 Caracterización de la energía. 299
(3) De 1 y 2 se sigue,
(F L) ∗ θ∇ − ΘL = (F L) ∗ θ∇ − (F L) ∗ Θ = (F L) ∗ (θ∇ − Θ)
= (F L) ∗ (θ∇ − θ + θ − Θ) = (F L) ∗ ((H ∇ − H)d k t + Hd k t)
= (F L) ∗ (H ∇ d k t) = E ∇ L dk t ,
donde en la última igualdad hemos utilizado la definición de H ∇ , esto es,
(F L) ∗ (H ∇ ) = E ∇ L .
7.4.2. Caracterización de la energía.
Lema 7.25 Sean β una k-forma y f una función en Rk ×T 1 k Q. Para cada aplicación
φQ : U ⊂ Rk → Q, con soporte compacto y donde U es un conjunto abierto de Rk ,
las siguientes condiciones son equivalentes:
(i) (φ [1]
Q )∗ (f d k t) = (φ [1]
Q )∗ β.
(ii)
φ [1]
Q (U) f dk t =
φ [1] β.
Q (U)
Recordemos que φ [1]
Q : U ⊂ Rk → Rk × T 1 k Q denota la primera prolongación de φQ.
Demostración:
Trivialmente (i) ⇒ (ii) ya que
fd k
t =
φ [1]
Q (U)
U
(φ [1]
Q )∗ (fd k t) =
U
(φ [1])
Q )∗
β =
φ [1]
Q (U)
β.
Recíprocamente, si (i) no es cierto, entonces existe una aplicación
tal que
φQ : U ⊂ R k → Q
(φ [1]
Q )∗ (f d k t − β) = 0