Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

194 5 Formulación k-simpléctica en algebroides de Lie
En coordenadas locales, el bivector Π en un punto q ∈ Q tiene la expresión
Π = 1 ∂ ∂
Λij ∧ .
2 ∂qi ∂qj Podemos considerar como lagrangiano para el modelo Poisson Sigma una función
definida en T ∗ Q ⊕Q T ∗ Q. Así si (q i , p 1 i , p 2 i ) denota las coordenadas locales T ∗ Q ⊕Q
T ∗ Q, la expresión local del lagrangiano es (véase [96])
L(q i , p 1 i , p 2 i ) = − 1
2 Λij p 1 i p 2 j .
A continuación vamos a considerar las ecuaciones de Euler-Lagrange (5.49) para
el lagrangiano
L: T ∗ Q ⊕ T ∗ Q → R , L(q i , p 1 i , p 2 i ) = − 1
2 Λij p 1 i p 2 j .
Un largo cálculo muestra que la primera ecuación de (5.49), esto es, la ecuación
k d
dtA
∂L
= ρ i ∂L
α + yβ
∂qi ACγ ∂L
βα
se reduce a
A=1
1
2 Λij
2 ∂pi ∂y α A
∂t1 − ∂p1i ∂Λkl
+
∂t2 ∂qi p1kp 2 l
∂y γ
A
= 0 .
y teniendo en cuenta la condición de morfismo esta ecuación se verifica por lo que
las ecuaciones de campo de Euler-Lagrange (5.49) son en este caso particular
∂qi ∂tA + Λijp A j = 0 ,
∂p2 i ∂Λkl
+ 2
∂t1 − ∂p1i ∂t
∂q i p1 kp 2 l = 0 .
Consideremos la 1-formas en R 2 dadas por Pj = p 1 jdt 1 + p 2 jdt 2 (j = 1, . . . , n),
entonces las anteriores ecuaciones puede escribirse como sigue
dq j + Λ jk Pk = 0
dPj + 1
2 Λkl
, jPk ∧ Pl = 0 ,
donde Λ kl
, j := ∂Λ kl /∂q j . Esta es la forma usual en la que aparecen las ecuaciones
para el modelo Poisson Sigma, véase T. Strobl [130].