Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

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164 5 Formulación k-simpléctica en algebroides de Lie De las expresiones (5.24), (5.29) y (5.31) obtenemos que ξ VA se escribe en función de la base local {Xα, V B β } de secciones del fibrado vectorial τ k ⊕E : TE ( k ⊕ E) → k ⊕ E como sigue: ξ VA (aq, bq) = (0q, y α (aq) ∂ Observación 5.14 ∂yα bq A ) = y α (aq)V A α(bq) , 1 ≤ A ≤ k . (5.32) (1) En el caso estándar, es decir, cuando E = T Q y ρ = idT Q, dados dos elementos uq ∈ TqQ y vq = (v1q, . . . , vkq) ∈ T 1 k Q se obtiene (uq) VA vq d = ds s=0 f(v1q, . . . , vAq + suq, . . . , vkq) , 1 ≤ A ≤ k , que coincide con la definición de levantamiento vertical A-ésimo del vector uq tangente a Q, a un vector tangente a T 1 k Q, (véase por ejemplo [56, 107, 119] y el apartado C de la sección 1.2.1 de esta memoria). (2) Si reescribimos este apartado en el caso particular k = 1 obtenemos que ξ V1 ≡ ξ V : E ×Q E → T E E es la aplicación levantamiento vertical introducida por E. Martínez en [96, 98]. D. Endomorfismo verticales en T E ( k ⊕ E). En el fibrado tangente de las k1-velocidades, T 1 k Q, hemos definido, en la sección 1.2.4, la estructura k-tangente canónica J 1 . . . , J k . Estas familia de tensores de tipo (1, 1) se emplea en el desarrollo de la formulación lagrangiana k-simpléctica de las teorías clásicas de campos de primer orden. En este apartado vamos a introducir el objeto análogo en el contexto de los algebroides de Lie. ⋄
5.3.1 Elementos geométricos. 165 Definición 5.15 Para cada A = 1, . . . , k se define el endomorfismo vertical Aésimo en TE ( k ⊕ E) ≡ E ×T Q T ( k ⊕ E) como la aplicación J A : T E ( k ⊕ E) → T E ( k ⊕ E) (aq, vbq) ↦→ J A (aq, vbq) = ξ VA (aq, bq) , donde aq ∈ E, bq = (b1q, . . . , bkq) ∈ k ⊕ E y vbq ∈ Tbq( k ⊕ E). Lema 5.16 Consideremos {Xα, V A α}1≤A≤k, 1≤α≤m una base local de secciones de τ k ⊕E : TE ( k ⊕ E) ≡ E ×T Q T ( k ⊕ E) → k ⊕ E y sea la base dual asociada. {X α , V α A}1≤A≤k, 1≤α≤m En estas bases, la expresión local de J A es: Demostración: J A = (5.33) m V A α ⊗ X α , 1 ≤ A ≤ k . (5.34) α=1 La expresión local (5.34) de J A es consecuencia de las expresiones (5.24) y (5.32). En efecto, teniendo en cuenta estas expresiones obtenemos J A (Xα(bq)) = ξ VA (eα(q), bq) = y β (eα(q))V A β (bq) = V A α(bq) , J A (V B α (bq)) = ξ VA (0q, bq) = y α A (0q)V A α(bq) = 0 , para cada bq ∈ k ⊕ E y cada A, B = 1, . . . , k, α = 1 . . . , m.
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A mi familia
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En efecto, consideramos la siguient
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M ⊂ T 1 k Q Subvariedad de ligadu
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Bibliografía 389 [124] D. J. Saund
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