Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

3.1.4 Las ecuaciones de campo no-holonómicas 81
o equivalentemente por
(τ k Q)∗(Zα) = 0 y ıZαω A L = − η A α , 1 ≤ A ≤ k .
Si Zα se escribe localmente como sigue:
j ∂
Zα = (Zα)
∂q
j
j + (Zα) B
∂
∂v j
B
entonces, de la expresión local (1.33) de ωA L , se deduce que (3.4) es equivalente a
(Zα) i = 0 , (Zα) j
B
∂ 2 L
∂v j
B ∂vi A
= η A α i .
Teniendo en cuenta que el lagrangiano L es regular, las funciones (Zα) j
B quedan
determinadas unívocamente. De este modo se obtiene
Zα = W ij
AB ηA α i
∂
∂v j
B
donde (W ij
2 ∂ L
AB ) denota la matriz inversa de la matriz
∂vi A∂vj B
A partir de la expresión de los campos de vectores Zα y de la regularidad del
lagrangiano L se comprueba inmediatamente que la independencia de las 1-formas
R k -valuadas η1, . . . , ηm implica que los campos de vectores Z1, . . . , Zm son linealmente
independientes. Por tanto generan una distribución
S =< Z1, . . . , Zm >,
de dimensión m. Llamaremos a S la distribución de ligaduras asociada a M y F .
3.1.4. Las ecuaciones de campo no-holonómicas
En esta subsección vamos a describir las ecuaciones de campo no-holonómicas
en el fibrado tangente de las k1-velocidades T 1 k Q de una variedad Q.
Resumiendo lo visto por el momento, estamos trabajando en una teoría de campos
no-holonómicos construida sobre los siguientes objetos:
(i) un lagrangiano regular L : T 1 k Q → R;
,
.