Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

5.3.1 Elementos geométricos. 161
(3) De (5.16) obtenemos que el conjunto {Xα, V A α} definido por
Xα:
V A α :
k
⊕ E → TE ( k
⊕ E) ≡ E ×T Q T ( k
⊕ E)
bq ↦→ Xα(bq) = (eα(q); ρi α(q) ∂
∂qi
k
⊕ E → TE ( k
⊕ E) ≡ E ×T Q T ( k
bq ↦→ V A α(bq) = (0q; ∂
∂yα
bq A
es una base local de secciones de τ k
⊕E : TE ( k
⊕ E) → k
⊕ E.
⊕ E)
) ,
bq
)
(5.24)
A partir de ahora denotaremos por Sec(TE ( k
⊕ E)) el conjunto de secciones de
τ k
⊕E : TE ( k
⊕ E) → k
⊕ E.
(4) A cada sección ξ: k
⊕ E → TE ( k
⊕ E) ≡ E ×T Q T ( k
⊕ E) de τ k le asociamos un
⊕E
campo de vectores por medio del ancla del algebroide ρτ : TE ( k
⊕ E) → T ( k
⊕ E).
Si ξ se escribe localmente como sigue:
ξ = ξ α Xα + ξ α AV A α ∈ Sec(T E ( k
⊕ E))
entonces, reescribiendo la expresión (5.17) para este caso particular obtenemos,
ρ τ (ξ) = ρ i α ∂
αξ
∂
∂qi + ξα A
∂yα A
∈ X( k
⊕ E) . (5.25)
(5) El corchete de Lie de secciones de τ k queda determinado a partir del corchete
⊕E
de los elementos de una base de secciones, véase (5.19),
[Xα, Xβ ] τ = C γ
αβ Xγ [Xα, V B β ]τ = 0 [V A α, V B β ]τ = 0 , (5.26)
(6) Si {X α , V α A } es la base dual de {Xα, V A α}, de las expresiones (5.20) que caracterizan
la diferencial exterior en el algebroide prolongación obtenemos que
dTE ( k
⊕E) i ∂f
f = ρα ∂qi Xα + ∂f
∂y α A
V α A , para f ∈ C ∞ ( k
⊕ E)
dTE ( k
⊕E) γ 1
X = −
2 Cγ
αβXα ∧ X β , d TE ( k
⊕E) γ
VA = 0 .
(5.27)