Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

2.2.3 lagrangianos equivalentes. 69
Lema 2.36 Un lagrangiano L: T 1 k Q → R verifica
ω A L = 0, para cada A = 1, . . . , k,
si, y sólo si, existen α 1 , . . . , α k , 1-formas cerradas en Q, y una función f ∈ C ∞ (Q),
tales que
L = α + (τ k Q) ∗ f (salvo constantes),
donde ˆα ∈ C∞ (T 1 k Q) es la función definida en T 1 k Q por
ˆα : T 1 k
y τ k Q : T 1 k Q → Q es la proyección canónica.
Demostración:
Supongamos que
Q −→ R
wq = (v1q, . . . , vkq) ↦→
k
α A q (vAq)
A=1
ω A L = −dθ A L = 0 , 1 ≤ A ≤ k,
entonces θA L = dL◦J A son 1-formas en T 1 A
k Q cerradas y semibásicas, por tanto dL◦J
son formas básicas, esto es, existen ciertas 1-formas en Q, α1 . . . , αk , tales que
Además, puesto que
dL ◦ J A = (τ k Q) ∗ α A , 1 ≤ A ≤ k . (2.37)
0 = dθ A L = d((τ k Q) ∗ α A ) = (τ k Q) ∗ (dα A ),
entonces dα A = 0; esto es, cada α A es una 1-forma cerrada en Q.
Por otra parte, mediante un cálculo en coordenadas locales obtenemos
dˆα ◦ J A = (τ k Q) ∗ α A , 1 ≤ A ≤ k . (2.38)
Entonces de (2.37) y (2.38) se obtiene dL ◦ J A = dˆα ◦ J A o equivalentemente
d(L − ˆα) ◦ J A = 0 .
Así, la 1-forma d(L − ˆα) es cerrada y semibásica y en consecuencia, d(L − ˆα) es
una 1-forma básica; esto es, existe f ∈ C ∞ (Q) tal que
d(L − ˆα) = (τ k Q) ∗ df = d((τ k Q) ∗ f).