Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

1.2 El enfoque lagrangiano. 21
Teniendo en cuenta el teorema anterior, las ecuaciones (1.15) se pueden considerar
como una versión geométrica de las ecuaciones de Hamilton-De Donder-
Weyl. A partir de ahora denominaremos a estas ecuaciones (1.15) como ecuaciones
geométricas hamiltonianas k-simplécticas.
Denotaremos por Xk H (M) el conjunto de campos de k-vectores que son solucion
de (1.15), es decir,
X k H(M): = {X = (X1, . . . , Xk) / τ k M ◦ X = idM y
k
A=1
ıXA ωA = dH} .
A los elementos de este conjunto los llamaremos campos de k-vectores hamiltonianos.
Observación 1.24 Nótese que la existencia de solución de la ecuación geométrica
hamiltoniana (1.15) está garantizada. En efecto, podríamos definir X = (X1, . . . , Xk)
localmente como
X1 = ∂H
∂p 1 i
XA = ∂H
∂p A i
∂ ∂H
−
∂qi ∂qi ∂
∂p 1 i
∂
, 2 ≤ A ≤ k
∂qi (1.18)
y usando una partición de la unidad podríamos encontrar un campo de k-vectores
X = (X1, . . . , Xk), globalmente definido, verificando (1.15).
Además, las soluciones de la ecuación (1.15) no son necesariamente únicas puesto
que dichas soluciones vendrían dadas por (X1, . . . , Xk) + Ker Ω♯ en donde X =
(X1, . . . , Xk) es una solución particular y Ω♯ : T 1 k M → T ∗M es la aplicación definida
por Ω♯ k
(Y1, . . . , Yk) = ıYA ωA (véase [104]).
A=1
1.2. El enfoque lagrangiano.
En esta sección recordaremos los principales elementos y resultados de la formulación
lagrangiana k-simpléctica de las ecuaciones de campo de Euler-Lagrange
(véase [56, 104, 107]).
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