Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

356 A Simetrías y leyes de conservación
+ ∂H
∂p B k
= −δ k i
A
∂Φi
(Φ◦ψ)(t) ∂qj ∂H
∂qk
(Φ◦ψ)(t)
∂Φ
ψ(t)
B k
+ 0 ∂H
∂p B k
∂p A j
−
ψ(t)
∂ΦBk ∂pC j
(Φ◦ψ)(t)
= − ∂H
∂q i
∂Φ
ψ(t)
C i
∂qj
(Φ◦ψ)(t)
ψ(t)
Así hemos probado que el primer grupo de las ecuaciones de Hamilton-de Donder-
Weyl se verifica. Comprobemos ahora que el segundo grupo también se verifica.
∂(Φ ◦ ψ) i
∂tA
= ∂Φi
∂qk
ψ(t)
t
∂ψ k
∂t A
=
t
k
B=1
−
δ B A
k
B=1
∂(Φ ◦ ψ) i
∂tB
δ B C
= ∂Φi
∂qk
∂ψ
ψ(t)
k
∂tA
−
t
∂(Φ−1 ) k
∂pA
i
= ∂Φi
∂qk
∂H
ψ(t) ∂pA
+
k
ψ(t)
∂(Φ−1 ) k
∂pA
i
= ∂Φi
∂qk
∂H
ψ(t) ∂qj
∂Φ
(Φ◦ψ)(t)
j
∂pA
k
ψ(t)
+ ∂(Φ−1 ) k
∂pA
∂H
i (Φ◦ψ)(t) ∂qj
(Φ◦ψ)(t)
= ∂H
∂qj i
∂Φ
(Φ◦ψ)(t) ∂qk
∂Φ
ψ(t)
j
∂pA
k
ψ(t)
+ ∂H
∂pB
∂Φ
j (Φ◦ψ)(t)
i
∂qk
∂Φ
ψ(t)
B j
∂pA
k
ψ(t)
= ∂H
∂qj i
∂Φ
(Φ◦ψ)(t) ∂qk
∂Φ
ψ(t)
j
∂pA
k
ψ(t)
+ ∂H
∂pB
∂Φ
j (Φ◦ψ)(t)
i
∂qk
∂Φ
ψ(t)
B j
∂pA k
= ∂H
∂qj i
∂Φ
(Φ◦ψ)(t) ∂qk
∂Φ
ψ(t)
j
ψ(t)
∂p A k
t
= ∂Φi
∂qk
ψ(t)
∂(Φ−1 ) k
∂pA ∂ψ
i (Φ◦ψ)(t)
C k
∂tB k
(Φ◦ψ)(t)
B=1
(Φ◦ψ)(t)
+ ∂H
∂p B j
∂Φ j
∂q k
∂ψ B k
∂t B
∂H
∂qk
ψ(t)
+ ∂(Φ−1 ) k
∂p A i
t
ψ(t)
∂ψ k
∂t A
t
t
∂Φ
(Φ◦ψ)(t)
B j
∂pA k
+ ∂H
∂p B j
+ ∂(Φ−1 ) k
∂p A i
− ∂(Φ−1 ) B l
∂p A i
.
+
k
∂Φi
δ
B=1
B A
∂pC ∂ψ
k
ψ(t)
C k
∂tB
ψ(t)
∂Φ
(Φ◦ψ)(t)
B j
∂qk (Φ◦ψ)(t)
(Φ◦ψ)(t)
∂Φ j
∂q k
∂Φ B j
∂q k
∂Φj
ψ(t)
ψ(t)
ψ(t)
(Φ◦ψ)(t) ∂pB
l
ψ(t)
+ δ
ψ(t)
j
i δB A − ∂(Φ−1 ) C l
− δ B ∂Φ
A
i
∂qk
∂p A i
∂Φj
ψ(t) ∂pB
k
ψ(t)
∂Φ
(Φ◦ψ)(t)
B j
∂p C l
ψ(t)
t