Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

136 4 Relación entre conexiones no lineales en T 1 k Q y sopde’s
Demostración:
Puesto que ξ es linealizable, de (4.24) y (4.25) obtenemos que las componentes
de la conexión no lineal Hξ son
(Nξ) ı Bj = − 1
k + 1
k
A=1
(A ı AB) A
j
Ahora, de (4.17) deducimos que la curvatura Ω se anula y por tanto, que la
distribución Hξ(T 1 k Q) : = Im Hξ es integrable
Recordemos que los sopde’s en T 1 k Q son campos de k-vectores que se caracterizan
porque sus secciones integrales son primeras prolongaciones
φ (1) : U0 ⊂ R k → T 1 k Q
de aplicaciones φ : U0 ⊂ R k → Q, véase la proposición 1.42. En el caso particular de
los sopde’s linealizables, la proposición 1.42 puede escribirse como sigue:
Proposición 4.22 Sea ξ = (ξ1, . . . , ξk) un sopde linealizable e integrable. Si
es una sección integral de ξ entonces
ϕ : R k → T 1 k Q
ϕ = φ (1) ,
donde φ (1) es la primera prolongación de φ = τ k Q ◦ ϕ : Rk ϕ → T 1 k Q τ k Q
→ Q, y verifica
∂ 2 φ j
∂t A j
(t) = (ξA) B B
∂t (φ(1) (t)) = (A j
AB )C
m
.
∂φm + (Bj
∂tC AB ) m φm (t) + C j
AB
(4.26)
Recíprocamente, si φ : R k → Q es una aplicación verificando (4.26), entonces φ (1) es
una sección integral de ξ.