Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

2.2.1 Simetrías y leyes de conservación 55
Proposición 2.20 Sea L : T 1 k Q → R un lagrangiano regular y Φ: T 1 k Q → T 1 k Q un
difeomorfismo. Si Φ verifica
Φ ∗ ω A L = ω A L , 1 ≤ A ≤ k y Φ ∗ EL = EL (salvo constantes).
entonces Φ es una simetría del sistema lagrangiano k-simpléctico (T 1 k Q, ωA L , EL).
Demostración:
Tenemos que probar:
Si φ : U0 ⊂ Rk → Q es una solución de las ecuaciones de Euler-Lagrange
(1.44), entonces Φ ◦ φ (1) = ϕ (1) siendo ϕ : U0 ⊂ Rk → T 1 k Q también una
solución de (1.44).
Sin embargo, lo que vamos a probar aquí, teniendo en cuenta que L es regular,
es la afirmación equivalente:
F L ◦ Φ ◦ φ (1) : U0 ⊂ R k → (T 1 k )∗ Q es una solución de las ecuaciones de
Hamilton-de Donder-Weyl (1.13); esto es
(a)
(b)
∂H
∂p A i
∂H
∂q i
(F L◦Φ◦φ (1) )(t)
(F L◦Φ circφ (1) )(t)
= ∂(F L ◦ Φ ◦ φ(1) ) i
∂tA
t
k ∂(F L ◦ Φ ◦ φ
= −
(1) ) i A
∂tA
A=1
en donde el hamiltoniano es H = EL ◦ F L −1 .
t
,
(2.14)
Al igual que en la demostración de la Proposición 2.7, aquí se incluye un esquema
con los principales pasos de esta demostración, encontrando la demostración
completa en el Apéndice A.
Consideramos un sistema local de coordenadas (q i , v i A )1≤i≤n, 1≤A≤k en T 1 k
Q, en el
cual un difeomorfismo Φ : T 1 k Q → T 1 k Q que verifique las hipótesis del enunciado lo
escribimos como sigue:
Φ(q j , v j
B ) = (Φi (q j , v j
B ), ΦiA(q j , v j
B )) .
Con la finalidad de probar (2.14) haremos uso de cuatro grupos de identidades: