Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

324 8 Formalismo k-cosimpléctico en algebroides de Lie.
tal que su primera prolongación
φ [1] : R k → R k × T 1 k Q
(véase la Definición 6.23) verifica las ecuaciones de campo de Euler-Lagrange, esto
es,
k ∂
∂tA
∂L
=
t φ [1] (t)
∂L
∂q i
.
φ [1] (t)
A=1
∂v i A
La aplicación φ induce el siguiente morfismo de algebroides de Lie
y además se verifica
T R k
τ R k
para toda l-forma µ en Q, entonces
Rk T φ
φ
T Q
Q
τQ
d(Φ ∗ µ) = Φ ∗ (dµ)
Φ = (T φ, φ)
es un morfismo de algebroides de Lie, (véase la sección 5.1.4 para recordar la definición
de morfismo de algebroides de Lie).
Recordemos la definición de φ [1] con la finalidad de introducir posteriormente el
objeto análogo en el contexto de los algebroides de Lie.
Consideremos la base canónica de secciones de τRk,
∂ ∂
, . . . ,
∂t1 ∂tk
,
la primera prolongación φ [1] de φ, se escribe como sigue:
φ [1] (t) = (t, Ttφ( ∂
∂t1
), . . . , Ttφ(
t
∂
∂tk
)) .
t
Lo que acabamos de hacer es describir las soluciones de las ecuaciones de Euler-
Lagrange desde un nuevo punto de vista que nos permite pensar una solución como
un morfismo de algebroides de Lie.