Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

104 3 Teoría de Campos con ligaduras no-holonómicas. Enfoque k-simpléctico.
Por tanto, del Lema 3.20 obtenemos
(D v )wq = (TwqM ∩ (D v )wq) ⊕ (D v ) ⊥ wq = Dwq ⊕ (D v ) ⊥ wq = Dwq ⊕ S(wq) .
Así, mediante un cálculo directo, obtenemos que Dwq ∩D⊥ wq = {0} o, equivalentemente
(véase la proposición B.6 del Apéndice B), que Dwq es un subespacio vectorial
k-simpléctico del espacio vectorial k-simpléctico (Twq(T 1 k Q), ω1 L (wq), . . . , ωk L (wq), Vwq).
Recíprocamente, asumimos que para cada wq ∈ M, Dwq es un subespacio ksimpléctico
en (Twq(T 1 k Q), ω1 L (wq), . . . , ωk L (wq), Vwq), esto es Dwq ∩ D⊥ wq = {0}. En
efecto, sea Z ∈ TwqM ∩ S(wq) entonces
Z ∈ TwqM ∩ S(wq) = TwqM ∩ (D v ) ⊥ wq ⊂ TwqM ∩ (D v )wq = Dwq .
Puesto que ωA L (wq)(Z, Y ) = 0 para todo A (A = 1, . . . , k) y para todo Y ∈ Dwq,
se sigue que Z ∈ D⊥ wq . Así Z ∈ Dwq ∩ D⊥ wq = {0} y por tanto Z = 0.
Consideremos ahora, la restricción ωA D y dDEL de ωA L y dEL a D, respectivamente.
Puesto que Dwq es un espacio k-simpléctico para cada wq ∈ M, existe una solución
en D de la ecuación
k
ıXAωA D = dDEL . (3.21)
A=1
Observación 3.22 En el caso particular k = 1 los resultados que hemos incluido
aquí (a partir del Lema 3.19) se corresponden con la la caracterización de la mecánica
no-holonómica en el caso de ligaduras lineales realizada por Bates y Sniatychi en
[8]. Un estudio similar al que hemos realizado aquí es el que realizaron M. de León,
J.C. Marrero y D. Martín de Diego en [69] para ligaduras ideales.
Proposición 3.23 ξL,M es una solución del problema con ligaduras, i.e. ξL,M =
(ξ1 L,M , . . . , ξk L,M
) verifica las ecuaciones geométricas lagrangianas no-holonómicas (3.8),
si, y sólo si, ξL,M es solución de la ecuación (3.21).
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