Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

Por otra parte, puesto que Φ es un difeomorfismo se verifica Φ ◦ Φ −1 = id T 1 k Q.
Aplicando la regla de la cadena sobre esta identidad se obtiene:
δ i k = ∂(Φ ◦ Φ−1 ) i
∂qk =
w
∂Φi
∂qj ∂(Φ
Φ−1 (w)
−1 ) j
∂qk
+
w
∂Φi
∂v j
∂(Φ
Φ−1 (w)
A
−1 ) j
A
∂qk
w
0 = ∂(Φ ◦ Φ−1 ) i
∂vk
=
B
w
∂Φi
∂qj
∂(Φ
Φ−1 (w)
−1 ) j
∂vk
+
B
w
∂Φi
∂v j
∂(Φ
Φ−1 (w)
A
−1 ) j
A
∂vk
B
w
0 = ∂(Φ ◦ Φ−1 ) i A
∂qj
=
w
∂ΦiA ∂qk
∂(Φ
Φ−1 (w)
−1 ) k
∂qj
+
w
∂ΦiA ∂vk
∂(Φ
B
Φ−1 (w)
−1 ) k B
∂qj
w
δ i j δ A C = ∂(Φ ◦ Φ−1 ) i A
∂v j
=
w
C
∂ΦiA ∂qk
∂(Φ
Φ−1 (w)
−1 ) k
∂v j
+
w
C
∂ΦiA ∂vk
∂(Φ
B
Φ−1 (w)
−1 ) k B
∂v j
w
C
359
(A.20)
(A.21)
(A.22)
. (A.23)
Sea φ : U0 ⊂ R k → Q una solución de las ecuaciones de Euler-Lagrange. Por el
Teorema 1.51 sabemos que F L ◦ φ (1) : U0 ⊂ R k → (T 1 k )∗ Q es una solución de las
ecuaciones de Hamilton-De Donder-Weyl (1.15), esto es,
y
= ∂F Li
∂H
∂p A i
∂q j
F L(φ (1) (t))
φ (1) (t)
∂H
∂qi =
−
2 ∂ L
F L(φ (1) (t))
= ∂(F L ◦ φ(1) ) i
∂tA
∂φj ∂tA
+
t
∂F Li
= −
∂qj ∂vi
A φ (1) (t)
∂v j
B
k
A=1
∂φj ∂tA
t
t
∂
φ (1) (t)
2φj ∂tA∂tB
t
∂(F L ◦ φ (1) ) i A
∂t A
+ ∂2 L
∂v j
B ∂vi A
t
= ∂φi
∂tA
,
t
∂
φ (1) (t)
2φj ∂tA∂tB
t
.
(A.24)
(A.25)
Antes de continuar la demostración, con la finalidad de simplificar las expresiones,
introducimos la siguiente notación:
Φ(t) := (Φ ◦ φ (1) )(t) .
En este momento estamos en condiciones de comprobar (a) de (A.14).