Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

6.1.2 Formalismo hamiltoniano. Ecuaciones de Hamilton-De Donder-Weyl. 235
(2 ⇔ 3) Teniendo en cuenta que
se obtiene
R k
L Z 1 ∗Θ = dı Z 1 ∗Θ + ı Z 1 ∗dΘ ,
ψ ∗
LZ1 ∗Θ =
R k
ψ ∗
dıZ1 ∗Θ +
R k
ψ ∗ ı Z 1 ∗dΘ
y como ψ tiene soporte compacto, usando el teorema de Stokes se llega a
ψ ∗
dıZ1 ∗Θ = dψ ∗ ıZ1 ∗Θ = 0 ,
R k
entonces
R k
R k
ψ ∗ L Z 1 ∗Θ = 0
(para cada Z campo de vectores ˆπ Rk-vertical) si, y sólo si,
ψ ∗ ıZ1 ∗dΘ = 0,
R k
y según el teorema fundamental del cálculo variacional, esto es equivalente a que se
verifique
ψ ∗ ı Z 1 ∗dΘ = 0.
(3 ⇔ 4) Supongamos que
ψ : R k → R k × (T 1 k ) ∗ Q
es una sección de ˆπ R k ◦ (ˆπQ)1,0 verificando
ψ ∗ ı Z 1 ∗dΘ = 0 ,
para cada Z ∈ X(R k × Q) campo de vectores ˆπ R k-vertical.
En coordenadas locales si
Z = Z
para ciertas funciones Z i ∈ C ∞ (Q) entonces
i ∂
,
∂qi Z 1 ∗ i ∂
= Z
∂qi − pAj ∂Z j
∂q i
∂
∂p A i
.