Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

318 8 Formalismo k-cosimpléctico en algebroides de Lie.
Definición 8.11 Una sección
ξ = (ξ1, . . . , ξk) : R k × k
⊕ E → (T E ) 1 k(R k × k
⊕ E)
de (T E ) 1 k (Rk × k
⊕ E) se dice una ecuación en derivadas parciales de segundo
orden (sopde) si verifica
Lema 8.12 Sea
S A (ξA) = ∆A y YB(ξA) = δ A B , 1 ≤ A, B ≤ k .
{Y A , Xα, V A α}1≤A≤k, 1≤α≤m
una base local de Sec(T E (R k × k
⊕ E)). Entonces un sopde ξ = (ξ1, . . . , ξk) se escribe
localmente como sigue:
ξA = Y A + y α AXα + (ξA) α BV B α , A = 1, . . . , k , (8.17)
donde (ξA) B α son funciones definidas en R k × k
⊕ E.
Demostración:
Una sección ξA se escribe, en la base {Y A , Xα, V A α} como sigue:
ξA = (ξA)BY B + ξ α AXα + (ξA) α BV B α ,
para ciertas funciones (ξA)B , ξ α A , (ξA) B α ∈ C ∞ (R k × k
⊕ E).
Por ser ξ un sopde verifica
S A (ξA) = ∆A y YB(ξA) = δ A B , 1 ≤ A, B ≤ k .
Entonces, a partir de estas relaciones y de las expresiones locales (8.15) y (8.16) de
S A y ∆A obtenemos:
de donde se sigue que
δ A B = YB(ξA) = (ξA) B y y α AV A α = ∆A = S A (ξA) = ξ α AV A α ,
(ξA) B = δ A B y ξ α A = y α A .