Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

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340 8 Formalismo k-cosimpléctico en algebroides de Lie. Vamos ahora a calcular la expresión local del campo de k-vectores asociado a una sección ξ. Sea ξ = (ξ1, . . . , ξk) una sección de (T E ) 1 k (Rk × k ⊕ E ∗ ). Entonces cada es una sección de τ R k × k ⊕E ∗. ξA: R k × k ⊕ E ∗ → T E (R k × k ⊕ E ∗ ) Sea ahora {YA , Xα, Vα A } una base local de secciones de τ k Rk × ⊕E ∗: TE (R k × k ⊕ E ∗ ) → R k × k ⊕ E ∗ . Entonces cada ξA se escribe localmente en esta base como sigue: ξA = (ξA)BY B + ξ α AXα + (ξA) B α V α B ∈ Sec(T E (R k × k ⊕ E ∗ )) , 1 ≤ A ≤ k . De (8.36) obtenemos que el campo de vectores en R k × k ⊕ E ∗ asociado a ξA tiene la siguiente expresión local: ρ p∗ ∂ (ξA) = (ξA)B ∂tB + ρiαξ α ∂ A D. Las secciones de Liouville ∂ ∂qi + (ξA) B α ∂yB α ∈ X(R k × k ⊕ E ∗ ) . (8.40) A continuación vamos a introducir k secciones del fibrado vectorial (T E (R k × k ⊕ E ∗ )) ∗ → R k × k ⊕ E ∗ , dual del fibrado prolongación que estamos considerando en este apartado. Estas secciones nos permitirán describir las ecuaciones de Hamilton en el contexto que nos proporcionan los algebroides de Lie. Definición 8.24 Se llaman secciones de Liouville a las secciones del fibrado vectorial (TE (Rk × k ⊕ E ∗ )) ∗ → Rk × k ⊕ E ∗ definidas por: Θ A : R k × k ⊕ E ∗ −→ (T E (R k × k ⊕ E ∗ )) ∗ (t, b ∗ q ) ↦−→ Θ A (t,b ∗ q ) 1 ≤ A ≤ k ,
8.2.1 Elementos geométricos. 341 en donde Θ A (t,b ∗ q ) es la función definida como sigue: Θ A (t,b ∗ q ) : (TE (R k × k ⊕ E ∗ )) (t,b ∗ q ) −→ R (aq, v (t,b ∗ q )) ↦−→ Θ A (t,b ∗ q )(aq, v (t,b ∗ q )) = b ∗ Aq (aq) , (8.41) con aq ∈ E, (t, b ∗ q ) = (t, b1 ∗ q, . . . , bk ∗ q) ∈ R k × k ⊕ E ∗ y v(t,b ∗ q ) ∈ T(t,b ∗ q )(R k × k ⊕ E ∗ ). por A partir de las 1-secciones Θ 1 , . . . , Θ k se definen las 2-secciones Ω A : R k × k ⊕ E ∗ → (T E (R k × k ⊕ E ∗ )) ∗ ∧ (T E (R k × k ⊕ E ∗ )) ∗ , 1 ≤ A ≤ k Ω A = −dΘ A , donde d denota la diferencial exterior d TE (R k × k ⊕E ∗ ) en el algebroide T E (R k × k ⊕ E ∗ ), véase (8.38). Reescribiendo el apartado (2) de la Definición 5.2 de la diferencial exterior de un algebroide de Lie para el algebroide TE (Rk × k ⊕ E ∗ ), podemos escribir: Ω A L (ξ1, ξ2) = −dΘ A (ξ1, ξ2) = [ρp∗ (ξ2)](ΘA (ξ1)) − [ρp∗ (ξ1)](ΘA (ξ2)) + ΘA ([ξ1, ξ2 ] p∗ ) , (8.42) para todo par ξ1, ξ2 ∈ Sec(TE (Rk × k ⊕ E ∗ )) donde (ρp∗ , [·, ·] p∗ ) denota la estructura de algebroide de Lie de TE (Rk × k ⊕ E ∗ ). A continuación escribimos las expresiones locales de las secciones Θ A y Ω A . Consideremos {YB, Xα, V β B } una base local de secciones de τ k Rk × ⊕E ∗ : TE (Rk × k ⊕ E ∗ ) → Rk × k ⊕ E ∗ y {Y B , X α , V B β } su base dual. Entonces de la definición de ΘA y de (8.35) se obtiene la siguiente expresión local: Θ A m = y A β X β , 1 ≤ A ≤ k . (8.43) β=1
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