Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

36 1 Formulación k-simpléctica de las Teorías Clásicas de Campos
con lo que el resultado buscado se sigue inmediatamente.
(2 ⇔ 3) Acabamos de probar que φ : U0 ⊂ Rk → Q es un extremal de J si, y sólo
si, para cada campo de vectores Z ∈ X(Q) que se anule en la frontera de φ(U0) se
verifica
(LZCL) ◦ φ (1) (t)d k t = 0 . (1.43)
U0
i ∂
Consideremos un sistema local de coordenadas tal que Z = Z , teniendo
∂qi en cuenta la expresión (1.37) para el levantamiento completo ZC e integrando por
partes deducimos que φ(t) = (φi (t)) es un extremal de J si, y sólo si,
k
∂
∂tA
∂L
−
t φ (1) (t)
∂L
∂q i
(Z
φ (1) (t)
i ◦ φ)(t)d k t = 0 ,
U0
A=1
∂v i A
para todo valor de Z i . Así, φ será un extremal de J si, y sólo si,
k ∂
∂tA
∂L
t
A=1
∂v i
A
φ (1) (t)
= ∂L
∂q i
φ (1) (t)
. (1.44)
Las ecuaciones (1.44) se llaman ecuaciones de campo de Euler-Lagrange para
L.
C. Versión geométrica de las ecuaciones de campo de Euler-Lagrange.
A continuación daremos una descripción geométrica de las ecuaciones de campo
de Euler-Lagrange (1.44) y veremos que las soluciones de estas ecuaciones son
secciones integrales de ciertos campos de k-vectores en T 1 k Q.
De modo análogo a lo que ocurría en el caso hamiltoniano consideremos la ecuación
k
A=1
ı X A L ω A L = dEL , (1.45)
donde EL = ∆(L) − L es la energía lagrangiana. Nos referiremos a esta ecuación
como ecuación geométrica de Euler-Lagrange, este nombre quedará justificado
tras el enunciado del teorema 1.48.