Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

202 5 Formulación k-simpléctica en algebroides de Lie
En efecto, puesto que E = T Q y ρ = idT Q en este caso consideramos la prolongación
de T Q sobre π k Q : (T 1 k )∗ Q → Q. Así de (5.58) se tiene
T T Q ( k
⊕ T ∗ Q) = T T Q ((T 1 k )∗ Q)
= {(uq, vw ∗ q ) ∈ T Q × T ((T 1 k )∗ Q)/uq = T (π k Q )(vw ∗ q )}
= {(T (π k Q )(vw ∗ q ), vw ∗ q ) ∈ T Q × T ((T 1 k )∗ Q)/ w ∗ q ∈ (T 1 k )∗ Q}
≡ {vw ∗ q ∈ T ((T 1 k )∗ Q)/ wq ∈ (T 1 k )∗ Q} ≡ T ((T 1 k )∗ Q)
C. El fibrado vectorial T E ( k
⊕ E ∗ )⊕ k
. . . ⊕T E ( k
⊕ E ∗ ).
(5.64)
En la descripción de la formulación hamiltoniana k-simpléctica en algebroides de
Lie tienen especial interés los campos de k-vectores en (T 1 k )∗ Q, esto es, las secciones
de
τ k
(T 1 k )∗ Q : T 1 k ((T 1 k ) ∗ Q) → (T 1 k ) ∗ Q .
Pensando un algebroide de Lie E como un sustituto del fibrado tangente y teniendo
en cuenta que TE ( k
⊕ E ∗ ) juega el papel de T ((T 1 k )∗Q) es natural pensar que
la suma de Whitney de k copias de TE ( k
⊕ E ∗ ), esto es, el fibrado
jugará el papel de
T E ( k
⊕ E ∗ )⊕ k
. . . ⊕T E ( k
⊕ E ∗ )
T 1 k ((T 1 k ) ∗ Q) = T ((T 1 k ) ∗ Q)⊕ k . . . ⊕T ((T 1 k ) ∗ Q) .
Denotaremos por (TE ) 1 k
k ( ⊕ E ∗ ) la suma de Whitney de k copias del algebroide
de Lie TE ( k
⊕ E ∗ ), esto es,
(T E ) 1 k( k
⊕ E ∗ ): = T E ( k
⊕ E ∗ )⊕ k
. . . ⊕T E ( k
⊕ E ∗ ) .
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