Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

8.1.1 Elementos geométricos. 315
una base local de secciones de τ k
Rk × ⊕E : TE (Rk × k
⊕ E) → Rk × k
⊕ E y sea
la base dual asociada.
{YA, X α , V α A}1≤A≤k, 1≤α≤m
En estas bases, la expresión local de S A es:
Demostración:
S A =
m
V A α ⊗ X α , 1 ≤ A ≤ k . (8.15)
α=1
La expresión local de S A es consecuencia de las expresiones (8.4) y (8.13). En
efecto, teniendo en cuenta estas expresiones obtenemos
S A (Y B (t, bq)) = ξ VA (0q, t, bq) = y α A (0q)V A α(t, bq) = 0 ,
S A (Xα(t, bq)) = ξ VA (eα(q), t, bq) = y β (eα(q))V A β (t, bq) = V A α(t, bq)
S A (V B α (t, bq)) = ξ VA (0q, t, bq) = y α A (0q)V A α(t, bq) = 0 ,
para cada (t, bq) ∈ R k × k
⊕ E y cada A, B = 1, . . . , k, α = 1 . . . , m.
Observación 8.7 Los endomorfismos S1 , . . . , Sk que hemos definido en este apartado
nos permitirán introducir las “secciones lagrangianas. en el formalismo Lagrangiano
k-cosimpléctico en algebroides de Lie. Además también nos permitirán caracterizar
ciertas secciones del fibrado prolongación TE (Rk × k
⊕ E) denominadas sopde’s
(que definiremos en la subsección siguiente).
Observación 8.8 Reescribiendo la definición de S1 , . . . , Sk en el caso particular
E = T Q y ρ = idT Q obtenemos los campos de tensores canónicos S1 , . . . , S k en
Rk × T 1 k Q, véase el capítulo 6.
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