Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

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212 5 Formulación k-simpléctica en algebroides de Lie • Estándard: siendo k A=1 ıξA ωA = dH , (ξ1 . . . , ξk) : (T 1 k ) ∗ Q → T 1 k ((T 1 k ) ∗ Q) es un campo de k-vectores en (T 1 k )∗ Q. Ecuaciones de campo. • Algebroides de Lie: ∂ψi ∂tA k A=1 • Estándard: t ∂ψ A α ∂t A t ∂H = ρi α ∂yA α = − ψ(t) C δ αβ ψC δ (t) ∂H ∂y C β + ρ ψ(t) i α ∂H ∂q i Las soluciones de estas ecuaciones son aplicaciones ∂H ∂q i ψ: R k → k ⊕ E ∗ t ↦→ ψ(t) = (ψ i (t), ψ A α (t)) ψ(t) = − k A=1 ∂ψ A i ∂t A , t ∂p A i ψ(t) ∂H = ψ(t) ∂ψi ∂tA . t Las soluciones de estas ecuaciones son aplicaciones ψ: R k → (T 1 k )∗ Q t ↦→ ψ(t) = (ψ i (t), ψ A i (t)) 5.5. Equivalencia entre el formalismo lagrangiano y el hamiltoniano. En la sección 1.3 del capítulo 1 recordamos que las formulaciones lagrangiana y hamiltoniana k-simpléctica son equivalentes cuando el lagrangiano L : T 1 k Q → R es hiperregular. .
5.5 Equivalencia entre el formalismo lagrangiano y el hamiltoniano. 213 En el contexto que nos proporcionan los algebroides de Lie se obtiene un resultado similar que desarrollaremos en esta sección. Para ello comenzamos introduciendo la transformación de Legendre en este contexto. Sea L : k ⊕ E → R una función lagrangiana y ΘA k L : ⊕ E → [TE ( k ⊕ E)] ∗ , (A = 1, . . . , k) las 1-secciones lagrangianas asociadas a L que hemos definido en (5.41). Definición 5.49 Llamamos transformación de Legendre asociada a L a la aplicación diferenciable Leg : k ⊕ E → k ⊕ E ∗ definida por Leg(a1q, . . . , akq) = [Leg(a1q, . . . , akq)] 1 , . . . , [Leg(a1q, . . . , akq)] k donde [Leg(a1q, . . . , akq)] A (uq) = d ds L(a1q, . . . , aAq + suq, . . . , akq) siendo uq ∈ Eq. En otras palabras para cada A podemos escribir s=0 [Leg(a1q, . . . , akq)] A (uq) = Θ A L(a1q, . . . , akq)(Z) , (5.75) donde Z es un punto en la fibra (T E ( k ⊕ E))aq, siendo y además se verifica que donde aq = (a1q, . . . , akq) ∈ k ⊕ E τ1(Z) = uq τ1 : T E ( k ⊕ E) = E ×T Q T ( k ⊕ E) → E es la proyección sobre el primer factor, esto es, Z es de la forma Z = (uq, vaq). La expresión local de la aplicación Leg es Leg(q i , y α A) = (q i , ∂L ∂yα ) . A A partir de la expresión local anterior es sencillo probar que el lagrangiano L es regular si, y sólo si, Leg es un difeomorfismo local. ,
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M ⊂ T 1 k Q Subvariedad de ligadu
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