Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

4.1.2 La aplicación i : T 1 k Q ×Q T 1 k Q −→ V (T 1 k Q) ⊂ T (T 1 k Q). 117
donde (wAq) VA denota el levantamiento vertical A-ésimo a T 1 k Q del vector wAq ∈
TqQ.
Algunas propiedades interesantes de la aplicación i son las siguientes:
(1) El campo de vectores de Liouville ∆ en T 1 k
simal de las dilataciones a lo largo de las fibras de T 1 k
definir mediante la composición
esto es,
T 1 k Q δ
Q, que es el generador infinite-
Q, (véase 1.26), se puede
∆ = i ◦ δ , (4.4)
∆
T 1 k Q ×Q T 1 k Q i
1 V (Tk Q) ⊂ T (T 1 k Q)
donde δ es la sección canónica definida por δ(vq) = (vq, vq).
(2) Los campos de vectores canónicos ∆1, . . . , ∆k definidos en (1.28) se pueden
definir de modo análogo a como acabamos de introducir el campo de vectores
de Liouville ∆, a partir de la aplicación i, como sigue:
esto es,
T 1 k Q δA
donde δA es la sección de (τ k Q )∗ τ k Q
∆A = i ◦ δA, 1 ≤ A ≤ k
∆A
T 1 k Q ×Q T 1 k Q i
1 V (Tk Q) ⊂ T (T 1 k Q)
definida en (4.2).
(3) El levantamiento vertical A-ésimo X VA de X ∈ X(Q) a T 1 k Q, (véase (1.22)),
se puede definir como el campo de vectores en T 1 k Q dado por XVA = i ◦
T 1 k Q
A
X
X V A
T 1 k Q ×Q T 1 k Q
i
1 V (Tk Q) ⊂ T (T 1 k Q)
A
X
⋄