Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

5.3.1 Elementos geométricos. 163
Ahora bien, teniendo en cuenta la definición (5.22), que determina los elementos
de TE ( k
⊕ E), la condición que de un elemento sea vertical significa que
0 = Tbqτ(vbq) ,
es decir el vector vbq es vertical respecto a la proyección τ: k
⊕ E → Q.
Por lo tanto, si consideramos un sistema de coordenadas locales adaptadas
(qi , yα k
A ) en
⊕ E entonces se verifica que:
∂
vbq = u α A
∂yα
bq A
∈ Tbq( k
⊕ E) .
Definición 5.13 Para cada A = 1, . . . , k consideramos la aplicación
ξVA : E ×Q ( k
⊕ E) −→ TE ( k
⊕ E) ≡ E ×T Q T ( k
⊕ E)
(aq, bq) ↦−→ ξVA
(aq, bq) =
0q, (aq) VA
bq
(5.29)
donde aq ∈ E, bq = (b1q, . . . , bkq) ∈ k
⊕ E y el vector (aq) VA
k
∈ Tbq( ⊕ E) está defini-
bq
do por
(aq) VA d
f = bq f(b1q, . . . , bAq + saq, . . . , bkq) ,
ds s=0
1 ≤ A ≤ k , (5.30)
para una función arbitraria f ∈ C ∞ ( k
⊕ E).
Denominamos a la aplicación ξ VA la aplicación levantamiento vertical Aésimo.
De (5.30) deducimos que la expresión local de (aq) VA
bq es
(aq) VA
bq = yα (aq) ∂
∂yα
bq A
∈ Tbq( k
⊕ E) , 1 ≤ A ≤ k (5.31)
siendo (qi , yα ) un sistema local de coordenadas en E y (qi , yα k
A ) el inducido en ⊕ E.
En (5.31) se observa que el vector (aq) VA
bq
∈ Tbq( k
⊕ E) es vertical respecto a la
aplicación τ: k
⊕ E → Q. Esto nos garantiza que ξVA (aq, bq) es un elemento vertical
de TE ( k
⊕ E).