Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

290 7 Formalismo k-cosimpléctico y conexiones no lineales en R k × Q → R k .
(2) Consideramos el difeomorfismo
(ˆπQ) ∗ (T Q) −→ V (ˆπ R k),
ya que ˆπQ : R k × Q → Q es un fibrado vectorial.
(3) Como consecuencia de (1) y (2) obtenemos el difeomorfismo siguiente:
((ˆπ R k)1,0) ∗ (R k × T 1 k Q) ((ˆπ R k)1,0) ∗ ((ˆπ R k) ∗ (T ∗ R k ) ⊗ V (ˆπ R k)) ,
donde (ˆπ Rk)1,0 : Rk × T 1 k Q → T 1 k Q. En efecto,
((ˆπ R k)1,0) ∗ R k × T 1 k Q ((ˆπ R k)1,0) ∗ (ˆπ R k) ∗ (T ∗ R k ) ⊗ (ˆπQ) ∗ (T Q)
((ˆπ R k)1,0) ∗ (ˆπ R k) ∗ (T ∗ R k ) ⊗ V (ˆπ R k) .
De modo que los elementos de ((ˆπ Rk)1,0) ∗ Rk × T 1 k Q se identifican con elementos
de la forma
(t, f i ∂
1
∂qi
, . . . , f
(t,q)
i ∂
k
∂qi
) .
(t,q)
Así tenemos de modo natural el difeomorfismo
V ((ˆπ R k)1,0) ((ˆπ R k)1,0) ∗ ((ˆπ R k) ∗ (T ∗ R k ) ⊗ V (ˆπ R k))
entre dos fibrados vectoriales sobre R k × T 1 k Q.
Asociada a los difeomorfismos anteriores, en particular al último que hemos establecido,
existe una sección V de
((ˆπ R k)1,0) ∗ (ˆπ R k) ∗ (T R k ) ⊗ V (ˆπ R k) ∗ ⊗ V ((ˆπ R k)1,0) → R k × T 1 k Q .
En coordenadas naturales tenemos
V = ∂
∂t A ⊗ ζi ⊗ ∂
∂v i A
donde {ζ i , i = 1, . . . , n} es una base de secciones de V (ˆπ R k) ∗ → R k × Q, dual de la
base local {∂/∂q i }.