Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

4.1.4 La aplicación j : T (T 1 k Q) −→ T 1 k Q ×Q T Q 119
(1) Para cada A, 1 ≤ A ≤ k definimos el elemento δA ∈ Sec((τ k Q )∗ τQ) como sigue:
δA : T 1 k Q → T 1 k Q ×Q T Q
vq = (v1q, . . . , vkbq) ↦→ δA(vq) = (vq, vAq)
, 1 ≤ A ≤ k . (4.5)
Estas aplicaciones nos permitirán obtener el sopde asociado a una conexión
no lineal, como veremos en la sección 4.3
(2) Para cada campo de vectores X en Q, la aplicación
X = (id T 1 k Q, X ◦ τ k Q) : T 1 k Q → T 1 k Q ×Q T Q (4.6)
dada por X(vq) = (vq, X(q)) es una sección de (τ k Q )∗ τQ . En particular, las
secciones
∂ ∂qi (vq) = (vq, ∂
∂qi
τ k Q (vq)
forman una base local del conjunto Sec((τ k Q )∗ (τQ)) de secciones de (τ k Q )∗ τQ.
Observación 4.4 El conjunto de secciones Sec((τ k Q )∗τQ) se puede identificar con el
conjunto de campos de vectores en Q definidos a lo largo de τ k Q . La comprobación
de esta afirmación es similar a la realizada en la observación 4.1.
4.1.4. La aplicación j : T (T 1 k Q) −→ T 1 k Q ×Q T Q
Sea τT 1
k Q : T (T 1 k Q) → T 1 k Q el fibrado tangente a T 1 k Q y T τ k Q : T (T 1 k
aplicación tangente asociada a τ k Q . Consideramos la aplicación
localmente dada por
i ∂
j(Zvq) = j Z
∂qi
esto es,
j := (τ T 1 k Q, T τ k Q ) : T (T 1 k Q) → T 1 k Q ×Q T Q
Zvq → (vq, Tvqτ k Q (Zvq))
∂
+ Z
vq
i A
∂vi
vq A
j(q i , v i A, Z i , Z i A) = (q i , v i A, Z i ) .
)
i ∂
= vq, Z
∂qi
q
⋄
Q) → T Q la
(4.7)