Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

88 3 Teoría de Campos con ligaduras no-holonómicas. Enfoque k-simpléctico.
Proposición 3.6 Si se verifica la condición de compatibilidad (3.12), entonces en
cada punto wq ∈ M se obtiene la descomposición
Demostración:
Twq(T 1 k Q) = TwqM ⊕ S(wq) . (3.14)
La demostración es una consecuencia directa de la condición de compatibilidad
(3.12) y un simple cálculo de dimensiones:
dim TwqM ⊕ S(wq) = dim TwqM + dim S(wq)
= (n + nk − m) + m = n + nk = dim Twq(T 1 k Q) .
La descomposión en suma directa de la proposición anterior nos permitirá introducir
dos operadores proyección pero antes introducimos la siguiente notación:
TM(T 1 k Q) denota la restricción de T (T 1 k Q) a la subvariedad M de T 1 k Q, esto es,
TM(T 1 k Q) : =
Twq(T 1 k Q) .
wq∈M
La descomposición en suma directa de TM(T 1 k Q) dada por (3.14) determina dos
operadores proyección complementarios P y Q:
P : TM(T 1 k Q) → T M , Q = I − P : TM(T 1 k Q) → S ,
donde I es la identidad en TM(T 1 k Q).
Los proyectores P y Q se escriben localmente como sigue:
P = I − C α β Zα ⊗ dΦβ , Q = C α β Zα ⊗ dΦβ ,
donde (C α β ) es la inversa de la matriz (Cα β) y las entradas de esta matriz son
Cαβ := dΦα(Zβ) = Zβ(Φα).
Consideremos la restricción de T 1 k (T 1 k Q) a la subvariedad de ligaduras M, que
denotaremos como se indica a continuación:
(T 1 k )M(T 1 k Q) := TM(T 1 k Q)⊕ k . . . ⊕TM(T 1 k Q) .