Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

140 4 Relación entre conexiones no lineales en T 1 k Q y sopde’s
Dado un punto j 1 0f ∈ T 1 k Q, existe j1 0ϕ ∈ LQ y j 1 0,0γ ∈ J 1 0,0(R k , R n ) tales que
j 1 0f = [j 1 0ϕ, j 1 0,0γ] ∈ J 1 0,0(R k , R n ). en coordenadas locales,
j 1 0ϕ ≡ (ϕ i (0), ∂ϕi
∂xj
) ≡ (q
0
i , x i j) j 1 0,0γ ≡ ( ∂γi
∂tA
) ≡ (v
0
i A),
Entonces la aplicación
está localmente dada por
Una base de H j 1 0 ϕ es
j 1 0(ϕ ◦ γ) ≡ (ϕ i (0), ∂ϕi
∂qj
∂γ
0
j
∂tA
) = (q
0
i , x i j v j
A ) .
y la base de Qj1 0 (ϕ◦γ) = Tj1 0 (ϕ◦γ)(T 1 k Q) es
Φ j 1 0,0 γ : LQ → T 1 k Q ≡ J 1 0 (R k , Q)
j 1 0ϕ → j 1 0(ϕ ◦ γ)
Φ v i A : (q i , x i j) → (q i , x i jv i A) = (q i , v i A) (4.30)
( ∂
∂qi )H = ∂
∂qi − Γmil x l ∂
s
∂xm s
(Φj1 0,0γ)∗( ∂
∂qi )H = ∂
∂qi − Γmil x l j v j ∂
A
∂vi A
= ∂
∂q i − Γm il v l A
Proposición 4.23 Una conexión no lineal H en T 1 k Q es una conexión inducida por
una conexión lineal en Q si, y sólo si, sus componentes son N j
Ai
En este caso el sopde asociado a H es
(ξH)A = v i A
∂
− Γj
∂qi im vm B
y podemos demostrar la siguiente proposición:
∂
∂v j
= v
B
i A( ∂
∂qi )H ,
∂
∂v i A
,
= Γj
im vm A .