Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

6.1.2 Formalismo hamiltoniano. Ecuaciones de Hamilton-De Donder-Weyl. 229
Si definimos la función
H(t 1 , t 2 , t 3 , q, p 1 , p 2 , p 3 ) = 4πr(t)q + 1
2
3
A=1
(p A ) 2
donde q representa la variable ψ y p A las variables ψ A que componen P entonces
∂H
∂q
= 4πr , ∂H
∂p A = pA .
Ahora, evaluando las dos identidades anteriores en
se obtiene
ψ(t) = (t, ψ(t), ψ 1 (t), ψ 2 (t), ψ 3 (t))
∂H
∂q
∂H
∂pA
ψ(t)
ψ(t)
= 4πr(t) = −
3
A=1
= ψA (t) = ∂ψ
∂t A
.
t
∂ψ A
∂t A
Así las ecuaciones de la electrostática se pueden escribir como sigue
∂H
∂q
ψ(t)
= −
3
A=1
∂ψ A
∂t A
t
,
∂H
∂pA
ψ(t)
t
= ∂ψ
.
∂tA siendo un ejemplo de ls denominadas ecuaciones de campo de Hamilton-De Donder-
Weyl.
En general, a partir de un principio variacional, que se describirá a continuación,
se obtienen las ecuaciones de Hamilton-De Donder-Weyl clásicas,
∂H
∂q i
ψ(t)
= −
k
A=1
∂ψ A i
∂t A
,
t
∂H
=
ψ(t)
∂ψi
∂tA
, 1 ≤ A ≤ k, 1 ≤ i ≤ n ,
t
∂p A i
donde cada solución es una aplicación
ψ(t 1 , . . . , t k ) = (t 1 , . . . , t k , ψ i (t 1 , . . . , t k ), ψ A i (t 1 , . . . , t k ))
con i = 1, . . . , n y A = 1, . . . , k (en el ejemplo anterior i = 1 y k = 3) y H es una
función de las variables t A , q i , p A i , así podemos considerar que la función hamiltoniana
H está definida en R k × (T 1 k )∗ Q.